Quantoren

06.11.2006, 14:38

Taga

Quantoren

hallo hätte eine kurze frage um meine übungen nicht nur zu machen, sondern auch richtig zu machen.

und zwar:

Allquantor....A
Exi.quantor .... E

Ea€M Ab€IR Ec€M : a²=b²+c²

nun meine frage, wie genau sind diese quantoren zu lesen, kann ich diese auch vertauschen???

danke für hilfe..

tanya

06.11.2006, 15:18

Mazze

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Zitat:

nun meine frage, wie genau sind diese quantoren zu lesen, kann ich diese auch vertauschen???

Nein, vertauschen von Quantoren ändert die Aussage, erstmal zum Existenz Quantor:

$\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb{R}. x > 0 \end{eqnarray*}$

würde zum Beispiel bedeuten es existiert eine reelle Zahl die größer als 0 ist. Klar, Pi, 1,2 alle Möglichen reellen Zahlen können größer 0 sein.

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{R}. x^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

So, das bedeutet das für alle reellen Zahlen x² größergleich 0 ist. Soweit ist es ja klar. Den Allquantor benutzt man wenn man eine Aussage für alle Elemente einer bestimmten Menge treffen will. So und nun zu der Vertauschbarkeit:

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} \forall x \in \mathbb{R}.x^n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet es existiert eine natürliche Zahl n so das für alle reellen Zahlen x^n größergleich 0 ist. Vertausche ich die Quantoren also:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} \exists x \in \mathbb{R}.x^n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet das für jede natürliche Zahl n eine reelle Zahl x existiert so das
so das x^n > 0 ist.

Siehst Du das die Aussagen verschieden sind?

06.11.2006, 16:01

Hector

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Dazu sei noch gesgt dass $\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bedeutet es existiert MINDESTENS ein x aus den reelen Zahlen

$\begin{eqnarray*} \exists ! x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ : es existiert GENAU EIN x aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 18:48

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} \forall x \in \mathbb{R}.x^n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet es existiert eine natürliche Zahl n so das für alle reellen Zahlen x^n größergleich 0 ist. Vertausche ich die Quantoren also:

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} \exists x \in \mathbb{R}.x^n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet das für jede natürliche Zahl n eine reelle Zahl x existiert so das
so das x^n > 0 ist.

Selbst wenn man es so vertauscht, bedeutet es etwas anderes:

$\begin{eqnarray*} \exists\ n\in\mathbb N\ \forall\ x\in\mathbb R\ :\ x^n\geq 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt, wie schon erwähnt, dass zu eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existiert, sodass für alle reellen Zahlen gilt: $\begin{eqnarray*} x^n\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt vertausche ich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \forall\ x\in\mathbb R\ \exists\ n\in\mathbb N\ :\ x^n\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Und das heißt: Zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x^n\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Siehst du den Unterschied?

Gruß MSS

06.11.2006, 19:43

Taga

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ein großes danke für eure antworten...sie haben mir geholfen....

Gott

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