Gleichung mit Lag-Operator

23.08.2010, 18:32	martinoO	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Lag-Operator Hallo, ich versuche gerade folgende Gleichheit zu beweisen, schaff es aber nicht: $\begin{eqnarray} (1-L)^n t^n= n! \end{eqnarray}$ In der Gleichung sei L der Lag-Operator und t die (Zeit)Variable, die dieser um eins zurücksetzt, d.h. $\begin{eqnarray} L t = t-1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} L t^n = (t-1)^n \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz war der Versuch einer Induktion mit $\begin{eqnarray} (1-L)^n t^n=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-L)^k t^n \end{eqnarray}$ Komme aber leider nicht zum Ziel. Hab aber auch ewig nicht mehr mit Binomialkoeffizienten gerechnet. Viele Grüße
23.08.2010, 19:22	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit Lag-Operator Villeicht solltest du einfach mal alles aumultiplizieren ... wie kann man denn $\begin{eqnarray} (-L)^k t^n \end{eqnarray}$ ausformulieren? Und dann kann man sich mal überlegen, was $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} k^j \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k \end{eqnarray}$ ergibt.
25.08.2010, 20:23	martinoO	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Term ist wohl 0. $\begin{eqnarray} (1-L)^n t^n=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-L)^k t^n <br /> =\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k (t-k)^n<br /> =\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k (\sum\limits_{j=0}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} (-k)^j t^{n-j} ) \end{eqnarray}$ So dann hab ich umgeordnet: $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{j=0}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} t^{n-j}( \sum\limits_{k=0}^n (-k)^j \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k) \end{eqnarray}$ Hab leider gerade wenig Zeit.Hoffe ich habe alles richtig aufgeschrieben. Kontrolliere morgen mal. Komme leider nicht weiter. Weiss zwar, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k = 0 \end{eqnarray}$ gilt und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j =0 \end{eqnarray*}$ wohl auch.Beim letzteren habe ich noch kein Beweis.Nur im Kopf mit paar Bsplen durchgespielt. Problem ist nur, dass die Summe oben dann 0 wäre.
26.08.2010, 18:23	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau $\begin{eqnarray} (1 - L)^n t^n = \sum_{j=0}^n (-1)^j t^{n-j} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j \end{eqnarray}$ und wenn deine Behauptung das $\begin{eqnarray} (1 - L)^n t^n = n! \end{eqnarray}$ wahr ist, dann muss für alle $\begin{eqnarray} j\neq n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} j \in \{0,1,...,n-1\} \end{eqnarray}$ gelten, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j = 0 \end{eqnarray}$ , da sonst im Endergebnis t vorkommen würde.
26.08.2010, 20:16	martinoO	Auf diesen Beitrag antworten »
gut. Die Summe ist also n! bei j=n und fuer alle anderen j ist die Summe 0. Damit hab ich es dann ja. Ach ne, mist, musst das ja noch zeigen Und da ist das Problem habe leider absolut keine Idee. Naja überlege nochmal ein Tag und poste dann nochmal.
28.08.2010, 10:55	martinoO	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zu zeigen(hab die Summen gleich mit K=1 beginnen lassen): 1. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j = 0, j \in \{0,1,...,n-1\} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^n = n! \end{eqnarray}$ Beweisversuch mit Induktion: 1. Induktionsanfang: n=2 $\begin{eqnarray} j\in\{1\}: \sum_{k=1}^2 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k= - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} 2=0 \end{eqnarray}$ 2.Induktionsschritt: n->n+1 $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j = \sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} (-1)^k k^j +\sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j<br /> =\sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} (-1)^k k^j +\sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^j<br /> =\sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} (-1)^k k^j \end{eqnarray*}$ Einmal also die Induktionsannahme verwendet. Ja wie ich jetzt zeige,dass die letzte Summe null ist weiss ich leider nicht. bei j=n leider auch noch keine Idee.
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28.08.2010, 12:23	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n \\ k-1 \end{pmatrix} (-1)^k k^j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (-1) \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k (k+1)^j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (-1) \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k \sum_{i=0}^j \begin{pmatrix} j \\ i \end{pmatrix} k^i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (-1) \sum_{i=0}^j \begin{pmatrix} j \\ i \end{pmatrix} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k k^i \end{eqnarray}$ = 0 falls j < n, da dann i < n. P.S. Induktion ist keine schlechte Idee, aber wie man die Aussage induktiv beweist würd ich nochmal überdenken.

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