Erste Ableitung einer Funktion

24.08.2010, 09:46

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Ableitung einer Funktion

Guten Morgen,

ich habe in der Schule gerade Differenzialrechnung und somit auch die erste Ableitung die ich leider nicht so ganz kapiere.
Ich möchte euch mein Problem anhand dieser Funktion erläutern:
f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} - \sqrt{x} ; x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ müsste doch eigentlich 1 sein oder nicht? Da $\begin{eqnarray*} x^{1} \end{eqnarray*}$ doch eins ergibt und es somit 1 : 1 = 1 sein müsste.

Und du Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ müsste doch ebenfalls 1 sein, denn die Wurzel aus 1 ist bekanntlich 1.

Nun würde da aber ja stehen: f(x) = 1 - 1 = 0 was ich für falsch halte.

Also wie ihr seht verstehe ich das Thema leider nicht verwirrt

verwirrt

Ich würde mich echt freuen, wenn mir jemand bezüglich der Aufgabe helfen würde smile

smile

Azura

24.08.2010, 09:52

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Du berechnest nicht die Ableitung, sondern die Funktionswerte. Die Ableitung gibt an, wie stark der Funktionsgraph steigt oder fällt an der betrachteten Stelle. Gucken wir uns die Funktion mal an:

An der Stelle x = 1 fällt der Graph, es muss also etwas negatives herauskommen.

Wie habt ihr das denn in der Schule berechnet? Es gibt zwei Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Welche Methode habt ihr benutzt?

24.08.2010, 09:56

cutcha

Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du $\begin{eqnarray*} x=x_{0} \end{eqnarray*}$ einsetzt berechnest du lediglich den Funktionswert für x an dieser Stelle.

Mit der Ableitung kannst du die Steigung von x in einer bestimmten Stelle ermitteln. Wahrscheinlich lautet deine Aufgabe: Berechne die Steigung von $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ?

/edit Cel war schneller und ausführlicher

24.08.2010, 10:01

Pappnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst gilt einmal für deine beiden Funktionen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

24.08.2010, 10:11

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
Wie habt ihr das denn in der Schule berechnet? Es gibt zwei Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Welche Methode habt ihr benutzt?

Erstmal danke für den Versuch mir zu helfen smile

smile

Also, die erste Möglichkeit die du aufgeführt hast haben wir vor 2 monaten benutzt. Jetzt meint mein Lehrer sollen wir von der sogennanten "vorgefertigten" Formel wegkommen und selber auf die Lösung kommen.

Wir machen das in keiner der oben beschriebenen Weisen.

Ich versuchs dir an zwei Beispielen deutlich zu machen, was bisschen schwieriger wird, weil ichs ja leider nicht so ganz verstanden habe.

Also nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} 5x^{3} \end{eqnarray*}$ davon wäre die Ableitung $\begin{eqnarray*} 15x^{2} \end{eqnarray*}$ richtig?

Und von $\begin{eqnarray*} -0,5x^{2} \end{eqnarray*}$ wäre die Ableitung $\begin{eqnarray*} -1x^{1} \end{eqnarray*}$ richtig?

Egal welche Funktion wir haben die spielen immer mit den Exponenten. Aber lediglich den Exponenten ändern kanns ja nicht gewesen sein.

Kurzfassung: Deine oben aufgeführten Möglichkeiten benutzen wir gerade leider beide nicht.

24.08.2010, 10:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cutcha
Mit der Ableitung kannst du die Steigung von x in einer bestimmten Stelle ermitteln. Wahrscheinlich lautet deine Aufgabe: Berechne die Steigung von $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$ ?

Dieser Satz ist ja völlig verunglückt. Weder x noch f(x_0) haben eine Steigung, sondern die Funktion f.

Anzeige

24.08.2010, 10:15

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Azura: Dann ist es noch einfacher. Es gilt

$\begin{eqnarray*} (x^r)' = r \cdot x^{r-1} \end{eqnarray*}$

Das gilt auch für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Und dann ist da noch dies:

Zitat:

Original von Pappnase
Zunächst gilt einmal für deine beiden Funktionen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

24.08.2010, 10:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Azura
Egal welche Funktion wir haben die spielen immer mit den Exponenten. Aber lediglich den Exponenten ändern kanns ja nicht gewesen sein.

In vielen Fällen schon, nämlich wenn sich die Funktion als $\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$ schreiben läßt. Dabei kann n sogar eine reelle Zahl sein.

24.08.2010, 10:22

Booker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja korrekt wäre:

Berechne die Steigung (den Anstieg) von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Wie du die Ableitungen berechnet hast ist mir ein Rätsel...

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$ hat die Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(x)= ... \end{eqnarray*}$ .

Edit (mY+): Teile der Lösung entfernt.

24.08.2010, 12:42

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Booker

Bitte von Komplettlösungen abzusehen. Sh. das Boardprinzip.

mY+

24.08.2010, 19:52

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pappnase
Zunächst gilt einmal für deine beiden Funktionen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Aber damit ist die Aufgabe noch nciht gelöst oder? Denn ansonsten würde da ja wirklich 0 bei herauskommen.
Schuldige ich steh gerade völlig auf dem Schlauch weiß nicht wie ich weitermachen soll. Habe mein Mathebuch und das Internet durchgeschaut irgendwie verstehe ich es in der Theorie aber eigenz in der praxis geht es bei mir leider daneben unglücklich

unglücklich

24.08.2010, 19:56

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Liest du die Beiträge denn auch? Du musst diese beiden Funktionen doch nur ableiten, ich habe sogar schon aufgeschrieben, wie das geht:

Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} (x^r)' = r \cdot x^{r-1} \end{eqnarray*}$

Das gilt auch für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

24.08.2010, 20:01

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
Liest du die Beiträge denn auch? Du musst diese beiden Funktionen doch nur ableiten, ich habe sogar schon aufgeschrieben, wie das geht:

Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} (x^r)' = r \cdot x^{r-1} \end{eqnarray*}$

Das gilt auch für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Ja ich lese sie. Entschuldige ich versuch es mal:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} x^{-1} - x^{0,5} \end{eqnarray*}$ wird zu f(x) = -1 - 0,5 = -1,5?

24.08.2010, 20:15

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_1(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Und von $\begin{eqnarray*} f_2(x) = x^{0,5} \end{eqnarray*}$ ? Du musst das nur in meine Formel einsetzen. Dann noch ein Minus dazwischen und fertig.

24.08.2010, 20:56

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
Nein.

Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_1(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Und von $\begin{eqnarray*} f_2(x) = x^{0,5} \end{eqnarray*}$ ? Du musst das nur in meine Formel einsetzen. Dann noch ein Minus dazwischen und fertig.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_1(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} f_1(x) = 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_2(x) = x^{0,5} \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} f_2(x) = 0,5 \end{eqnarray*}$
sein.

Demnach wäre f'(x) = 0,5?

24.08.2010, 23:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Azura
Und die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_2(x) = x^{0,5} \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} f_2(x) = 0,5 \end{eqnarray*}$

Puh. Du machst es einem echt schwer. Deswegen habe ich gefragt, ob du die Beiträge liest. Noch mal:

Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} (x^r)' = r \cdot x^{r-1} \end{eqnarray*}$

Das gilt auch für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Bei dir ist doch offenbar r = 0,5, wie kommst du da auf eine konstante Ableitung?

Wenn ich die 0,5 in die Formel einsetze, steht bei mir

$\begin{eqnarray*} (x^{0,5})' = 0,5x^{0,5-1}= 0,5x^{-0.5} \end{eqnarray*}$ .

GENAU SO geht das auch mit $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ , nur ist jetzt r = -1.

25.08.2010, 18:24

Azura

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige unglücklich

unglücklich

Aber ich hab auch eine gute Nachricht. Ich denke ich habe es jetzt verstanden. Ich konnte deine Aufgabe nun nachvollziehen und heute haben zwei andere Funktionsgleichungen bei mir auch hingehauen.

Also vielen Dank an dich Cel und die anderen smile

smile

Azura

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »