Bilinerformen, Vektorraum der Polynome

24.08.2010, 11:23

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

Bilinerformen, Vektorraum der Polynome

hallo zusammen!

ich bereite mich auf die linalg II klausur vor und habe eine meiner grossen schwachstellen entdeckt..ich benutze hier eine alte klausuraufgabe, um mein problem besser aufzeigen zu können:

Sei V der reelle Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grade kleiner gleich 3:

$\begin{eqnarray*} V:=\left\{ p\left(x\right) = a_0 + a_1x + a_2x^{2}+a_3x^{3}, a_i \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

i) Bestimme die Dimension von V und beweise, dass die Formel

$\begin{eqnarray*} \left(p_1, p_2\right) :=\int_a^b \! p_1(x)p_2\left(x\right)x^{2} \, dx \end{eqnarray*}$ mit a=-1 und b=1

eine symmetrische Bilinearform auf V definiert.

ii) Bestimme die Signatur der obigen symmetrischen Bilinearform
iii) Finde eine Basis von V in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist

ich habe einmal folgendes probiert:

i) Um zu zeigen, dass die Formel eine symmetrische Bilinearform ist, muss folgendes gezeigt werden

$\begin{eqnarray*} \left(p_1 + p_1', p_2\right) = \left(p_1, p_2\right) + \left(p_1', p_2\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\lambda p_1, p_2\right) = \lambda \left(p_1, p_2\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(p_1, p_2\right) = \left(p_2, p_1\right) \end{eqnarray*}$

..man kann diese eigenschaften mit hilfe der rechenregeln der integralrechnung zeigen..
..die dimension kann man direkt ablesen, indem man die basis aufschreibt:
$\begin{eqnarray*} \left\{1, x, x^{2}, x^{3} \right\} \end{eqnarray*}$
also ist die Dimension 4.

zu ii) und iii) habe ich keine direkten ansätze..ich habe noch nicht gesehen, wie man auf die matrix der obigen bilinearform kommt - was ja auch notwendig ist, um die signatur abzulesen.

meine schwachstelle ist also klar der vektorraum der polynome - ich blick da nicht durch! wenn ich verstanden habe, wie ich die matrix erhalte, sollte es nicht ein allzu grosses problem sein, signatur und basis zu finden.
ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn jemand die zeit finden würde, mir zu erklären, wie ich genau mit diesen polynomen umzugehen habe!

liebe grüsse eisley

24.08.2010, 11:43

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Um auf die Gram-Matrix zu kommen musst du dir eine Basis wählen(hast du ja schon angedeutet) und bezüglich dieser eben alle paarweisen inneren Produkte ausrechnen.
Diese schreibst du wie immer in die Matrix, der Vektorraum V dieser Polynome ändert dort nichts zum Normalen Vorgehen

24.08.2010, 12:18

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

meine gram-matrix sieht also folgendermassen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \langle 1,1 \rangle & \langle 1,x \rangle & \langle 1, x^{2} \rangle & \langle 1, x^{3} \rangle \\ \langle x,1 \rangle & \langle x,x \rangle & \langle x, x^{2} \rangle & \langle x,x^{3} \rangle \\ \langle x^{2},1 \rangle & \langle x^{2},x \rangle & \langle x^{2},x^{2} \rangle & \langle x^{2},x^{3} \rangle \\ \langle x^{3},1 \rangle & \langle x^{3},x \rangle & \langle x^{3},x^{2} \rangle & \langle x^{3},x^{3} \rangle \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..so weit so gut. trotzdem erkenne ich nicht, wie ich diese innere produkte jetzt wirklich berechne, um die einträge zu erhalten. Hammer

Hammer

danke für die hilfe !

24.08.2010, 13:55

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch oben (p1,p2) definiert. Jetzt eben die konkreten Polynome einsetzen und die Integrale berechnen

24.08.2010, 15:14

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe also die integrale berechnet und die matrix sieht nun wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} & 0 \\ 0 & \frac{2}{7} & 0 & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe..

wäre es nun clever, die diagonalmatrix durch gekoppelte spalten- und zeilenumformungen zu finden oder hast du einen anderen vorschlag.. uns wurde in der vorlesung nur dieses eher aufwändige verfahren gezeigt..

sorry wenn ich mich hier ein wenig doof anstelle.. aber ich bin wirklich sehr unsicher und möchte es einmal schritt für schritt richtig gemacht haben, damit mir in der prüfung keine unnötigen fehler passieren und ich die sache wirklich durch und durch verstanden habe - danke dir für die hilfe!

24.08.2010, 15:41

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung was gekoppelte Spalten/Zeilenumformungen sind. Berechne wie immer bei Diagonalisieren die Eigenwerte und dann die Eigenvektoren.
Wie ergibt sich daraus die gewünschte Basis?

Anzeige

24.08.2010, 16:35

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

also die eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \lambda _1- \lambda _4 \end{eqnarray*}$ ermöglichen es mir, direkt die diagonalmatrix aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ... \\ 0 \\ 0 & & & \lambda _4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich kann die signatur ablesen.

die gesuchte basis sind die eigenvektoren zu den bereits berechneten eigenwerten.

ich suche nur noch einen weg, um die berechnungen zu vereinfachen..oder gibt es sowas nicht wirklich.

24.08.2010, 17:37

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein gibt keine Abkürzung

24.08.2010, 17:43

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

okay - aber immerhin wären so alle teilaufgaben gelöst! vielen dank für die unterstützung...
ich hab noch ein ähnliches, zweites problem.

angenommen der vektorraum bleibt der gleiche...nur muss man die matrix zum endomorphismus mit der formel

$\begin{eqnarray*} \gamma (p) = p''+17p' \end{eqnarray*}$

finden. ich steh ebenfalls völlig an..

24.08.2010, 17:45

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Ich hab keine Ahnung was gekoppelte Spalten/Zeilenumformungen sind. Berechne wie immer bei Diagonalisieren die Eigenwerte und dann die Eigenvektoren.

Soll nicht die Bilinearform, welche durch die Matrix gegeben wird, diagonalisiert werden?! Denn dann mach das mit der gekoppelten Spalten-/Zeilenumformungen schon Sinn...

Eigenwerte machen für Bilinearformen hingegen eher weniger Sinn.

Gruss.

Edit: Zu der neuen Aufgabe: Die Ableitungen von Polynomen sind wieder Polynome. Schau also einfach auf welche Polynome deine Basisvektoren abgebildet werden. Das ergibt dir dann die Matrix für diesen Endomorphismus.

24.08.2010, 17:48

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich muss ja die matrix der bilinearform diagonalisieren, um direkt die signatur ablesen zu können.. in diesem falle habe ich es mit der gekoppelten zeilen- und spaltenumformungen versucht, hab es allerdings nicht geschafft..

24.08.2010, 18:14

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ja ich muss ja die matrix der bilinearform diagonalisieren, um direkt die signatur ablesen zu können.. in diesem falle habe ich es mit der gekoppelten zeilen- und spaltenumformungen versucht, hab es allerdings nicht geschafft..

Woran liegt's denn?

24.08.2010, 18:27

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin nur so weit gekommen.. die 3 mal 3 untermatrix konnte ich nicht weiter hinbiegen.. bin da steckengeblieben..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{7} \\ 0 & \frac{2}{7} & 0 & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.08.2010, 19:06

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ach.. das ist quatsch! (: man kommt durch diese umformungen nicht zur richtigen diagonalform, um die signatur der bilinearform abzulesen...

man muss lediglich beachten, dass bilinearformen keine eigenwerte besitzen - man kann sie aber als trick benutzen, um die richtige diagonalform zu erhalten und da die signatur abzulesen.

also alles so wie gehabt..

24.08.2010, 19:09

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Hallo,

Zitat:

Ich hab keine Ahnung was gekoppelte Spalten/Zeilenumformungen sind. Berechne wie immer bei Diagonalisieren die Eigenwerte und dann die Eigenvektoren.

Soll nicht die Bilinearform, welche durch die Matrix gegeben wird, diagonalisiert werden?! Denn dann mach das mit der gekoppelten Spalten-/Zeilenumformungen schon Sinn...

In der Tat. Hier habe ich das schonmal vorgemacht.

Zitat:

Eigenwerte machen für Bilinearformen hingegen eher weniger Sinn.

Doch, für die Definitheit/Trägheitsindex.

24.08.2010, 19:12

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

zu der neuen aufgabe: die basis ist wiederum

$\begin{eqnarray*} \left\{1, x, x^{2}, x^{3} \right\} \end{eqnarray*}$

.. unglücklich

unglücklich

könntest du mir vielleicht den ersten eintrag der matrix zeigen? ich mach mir die sache viel zu kompliziert.. glaube ich.

24.08.2010, 19:24

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zitat:

Eigenwerte machen für Bilinearformen hingegen eher weniger Sinn.

Doch, für die Definitheit/Trägheitsindex.

Naja, die Eigenwerte sind dann diejenigen, der mit der Bilinearform assoziierten Matrix, aber eine Bilinearform selber hat keine Eigenvektoren und Eigenwerte, aber darüber brauchen wir uns wohl nicht länger auszulassen, ist eher eine Frage des Geschmacks bzw. der Definitionen.

@eisley:
Drück doch einfach mal die Bilder der Basisvektoren als Linearkombinationen derselben aus!

24.08.2010, 19:33

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

..ist es richtig, dass der bildbereich 1-dimensional ist? verwirrt

verwirrt

traurig

24.08.2010, 19:37

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Wieso machst du denn nicht, was ich vorgeschlagen habe? Was ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \gamma (x^3) = (x^3)''+17(x^3)' \end{eqnarray*}$

?

24.08.2010, 19:42

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \gamma (x^{3)}=6x+51x^{2} \end{eqnarray*}$

24.08.2010, 19:52

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Und jetzt machst du das für jeden Basisvektor.

z.B. has du nun die 4.te Spalte der gesuchten Matrix bestimmt.

Denn dem Polynom $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ entspricht der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und du hast in Matrizenschreibweise, wenn A die gesuchte Matrix ist, jetzt die folgende Gleichung gezeigt:

$\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 51 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.08.2010, 20:00

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

dann lautet also die gesuchte matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 17 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 34 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 51 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

..?

Edit: oh man!! vielen lieben lieben dank für die geduld! ich dreh bald durch hier.. haha

24.08.2010, 20:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, das sieht richtig aus. Wie bist du denn auf

Zitat:

..ist es richtig, dass der bildbereich 1-dimensional ist?

gekommen?! geschockt

geschockt

Wild wild guess?

24.08.2010, 20:09

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

haha das willst du am besten gar nicht wissen! hab mir selbst eins reingehauen (vor allem hab ich noch behauptet (bei der ersten aufgabe), dass die dimension 4 ist und dann sowas).. auf jeden fall hab ich das jetzt im kasten mit diesen polynomen..

vielen lieben dank dir und einen schönen abend!

ps: auch lieben dank an alle anderen beteiligten

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »