Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz

24.08.2010, 13:39

monchi

Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz

Hi,

Ich hab folgende Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich würde zunächst die einzelnen Folgeglieder untersuchen und überprüfen ob es sich überhaupt um eine Nullfolge handelt.

Wenn ich den Grenzwert per Hand ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} e^{-2} \end{eqnarray*}$ .
Mapel hingegen schmeist mir 0 raus.

Ich hab zunächst $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ betrachtet, welches mir einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ liefert. Hier liegt denke ich mal schon der Fehler.

Wie komm ich denn in dem Fall an den korrekten Grenzwert dieser Folge?

Monchi

24.08.2010, 13:41

monchi

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Alternativ hab ich noch das Wurzelkriterium angewandt. Welches mir dann ebenfalls $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ als Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{| a_{n} | } \end{eqnarray*}$ liefert.

Demnach müsste die Reihe konvergieren. Inmeiner Lösung aus der Vorlesung steht aber die Reihe sei divergent verwirrt

24.08.2010, 13:59

klarsoweit

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RE: Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz

Zitat:

Original von monchi
Ich hab zunächst $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n} \end{eqnarray*}$ betrachtet, welches mir einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ liefert. Hier liegt denke ich mal schon der Fehler.

In der Tat. Man sieht leicht, daß $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist, und wogegen konvergiert die rechte Seite?

24.08.2010, 14:55

nils mathe lk hems

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auf 1/e würdest du kommen, wenn es so hieße...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

deine folge kann man eher durch $\begin{eqnarray*} q^{n} \end{eqnarray*}$ ersetzen und diese konvergiert gegen null für 0<q<1

24.08.2010, 15:46

monchi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

In der Tat. Man sieht leicht, daß $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist, und wogegen konvergiert die rechte Seite?

das ist die geometrische Reihe so viel ist mir klar.

nur darf ich das so "Klammern"? sprich den den inneren Teil für sich alleine betrachten.

wenn ich mich nicht irre sind folgenden beiden Reihen nicht gleich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\left(\frac{1}{n+1}\right)^n)^2 \end{eqnarray*}$

und somit verbirgt sich auch nicht die geometrische Reihe dahinter verwirrt

@nils mathe lk hems
die beiden Ausdrücke sind identisch!!

24.08.2010, 15:51

monchi

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RE: Untersuchung einer Reihe auf Konvergenz
ist natürlich quatsch was ich da oben geschrieben habe^^ (zumindest zum Teil)

Zitat:

Original von klarsoweit
In der Tat. Man sieht leicht, daß $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist, und wogegen konvergiert die rechte Seite?

die Rechte Zeite konvergiert gegen Null. Also ist der Grenzwert der folge schon mal Null. Und damit ist das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe erfüllt. Richtig?

Bleibt noch zu klären ob diese wirklich konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Wurzelkriterium:

liefert mir den Grenzwert: $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$

Wo nach die Reihe konvergieren sollte. In meiner Lösung steht aber sie sie divergent

24.08.2010, 15:52

nils mathe lk hems

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die geometrische reihe ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^{n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

wichtig ist, dass unten 1-q und nicht + steht!

24.08.2010, 15:59

nils mathe lk hems

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ich geh das wurzelkriterium jetzt mal durch okay ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

wurzelkriterium anwenden $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \left(\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n*n}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt die n gegen unendlich laufen lässt bekommst du...

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n} = 0 \end{eqnarray*}$

edit: habs entfernt klarsoweit...

24.08.2010, 16:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\infty }\right)^{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$

die 1 / unendlich läuft so schon gegen null aber dadurch, dass sie noch mit unendlich potentiert ist läuft sie noch schneller gegen null!

Solche Sachen möchte ich nicht sehen, weil sie zu falschen Schlußfolgerungen verleiten können.

Über das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ habe ich mich schon in meinem Beitrag ausgelassen.

24.08.2010, 16:25

monchi

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Es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

und nicht
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich hab den Latex-Code aus meinem ersten Betrag immer nur rauskopiert. Deshalb ist es mir nicht aufgefallen! Tschuldigung!

Und dann bekomme ich auch mit dem Wurzelkriterium $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} =e^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-1} < 1 \end{eqnarray*}$ und daher konvergiert die Reihe. Richtig?

24.08.2010, 16:42

nils mathe lk hems

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jap das wird dann zu 1/e

aber es liegt nicht daran, dass 1/e < 1, dass die reihe konvergiert sondern, dass sie gegen einen bestimmten wert konvergiert! reihen können soweit ich das verstanden hab auch gen 2 oder dergleichen konvergieren!

24.08.2010, 18:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
aber es liegt nicht daran, dass 1/e < 1, dass die reihe konvergiert sondern

Doch genau daran liegt es. Insofern ist dein Beitrag Unfug. Du verwechselst da die Bedingungen eines Konvergenzkriteriums mit dem möglichen Grenzwert einer Reihe.

24.08.2010, 20:53

monchi_

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besten Dank für eure Hilfe!!

24.08.2010, 23:09

mathinitus

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Der Grenzwert der Reihe muss übrigens größer als 1/2 sein, da alle Terme positiv sind und der erste schon 1/2 ist. 0, 1/e oder 1/e^2 kommen als Grenzwert also gar nicht in Frage.

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