Metrik - natürliche Zahlen - Cauchy-Folge |
| 24.08.2010, 14:13 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Metrik - natürliche Zahlen - Cauchy-Folge Ich habe eben etwas mit Metriken rumgespielt und festgestellt, dass die folgende Metrik die Folge der natürlichen Zahlen zu einer Cauchy-Folge macht: Diese Metrik ist aber nur für definiert. Gibt es auch eine Metrik, die für die ganzen reellen Zahlen definiert ist und auch die Folge der natürlichen Zahlen zu einer Cauchy-Folge macht? |
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| 24.08.2010, 14:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst für jede injektive Funktion f mit endlichem Grenzwert für x gegen unendlich nehmen. |
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| 24.08.2010, 18:20 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, stimmt. Vielen Dank! Monoton sollte sie aber schon noch sein. |
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| 24.08.2010, 20:42 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du eine stetige Funktion nimmst, sollte das aus der Injektivität folgen. |
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| 24.08.2010, 21:40 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe nicht, weshalb sie monoton oder stetig sein müsste? Injektivität reicht doch völlig aus... tmo hat da genau die Mindestanforderungen getroffen:
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| 24.08.2010, 21:50 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe mich vllt ungünstig ausgedrückt. Was ich sagen wollte ist: Im Regelfall wird man vermutlich stetige Funktionen betrachten und für diese bräuchte man Monotonie (ob diese nun von Nöten ist oder nicht) nicht zu fordern. |
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| 24.08.2010, 22:42 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn sie stetig ist, ist natürlich alles super und sie ist auch monoton. Das ist mir klar. Nur monoton sollte sie schon sein, damit die Dreiecksungleichung gilt, sonst hätten wir ja keine Metrik. |
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| 24.08.2010, 23:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso sollte denn die Dreiecksungleichung nicht gelten, wenn sie nicht monoton ist? Ich geb' dir drölfmillionen € wenn du ein nicht-monotones Gegenbeispiel findest. 
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| 24.08.2010, 23:28 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, deine drölfmillionen € kannst du wohl behalten. Habe mich verdacht
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| 24.08.2010, 23:31 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe nun also ein, dass jedes injektive f mit eine Metrik definiert. Gilt auch die Umkehrung? Muss sich also für jede Metrik in den reellen Zahlen ein solches f finden lassen? |
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| 24.08.2010, 23:43 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wohl kaum, dazu ist der Begriff der Metrik viel zu allgemein. Man nehme z.B. die triviale Metrik Kannst dir ja mal überlegen was für widersprüchliche Eigenschaften so eine Funktion f nun haben müsste.
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| 25.08.2010, 00:06 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. An die diskrete Metrik hätte ich selbst denken können^^ |
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