Transformation gleichverteiler Zufallsvariable => Lognormalverteilt?

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taco Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation gleichverteiler Zufallsvariable => Lognormalverteilt?
Meine Frage:
Hi,

ich berechne ein Sample aus Zufallsvariabeln, die ich allesamt jeweils Gleichverteilt im Interval [0,1] generiere. Die einzelnen Werte transformiere ich jeweils mit Y = -log(1-X).

Wenn ich nun ein Histogram von meinen transformierten Werten Y zeichnen lasse sehe ich, dass das ganze relativ stark Lognormalverteilt aussieht, und wenn ich meine Werte Y nochmal mit Z = ln(Y) transformiere sieht das (logischerweise) widerrum stark normalverteilt aus.

Meine Frage ist nun: Wieso ist die Zufallsvariable Y = -ln(1-X) mehr oder minder annähernd lognormalverteilt?
Gibt es einen sachlogischen oder, noch besser, formal mathematischen Grund?

Anbei ein Bild der Histogramme von Y (oben) und spaßeshalber nochmal von Z

Meine Ideen:
Ich würde gerne eigene Ideen einbringen, habe schon ewig rumgesucht, alles dutzende male mit Excel oder Mathematica durchgespielt aber ich sitze jetzt schon seit über 4 Stunden dran und mir fällt kein sinnvoller Grund / keine Herangehensweise ein..!

Meine einzige Idee: Dass die Lognormalverteilung hier die passendste Verteilung sein soll habe ich mit BestFit herausgefunden. Könnte natürlich sein, dass ich das falsch bedient habe oder es Quatsch ausgespuckt hat und in Wirklichkeit eine andere Verteilung passender wäre - spontan beim ansehen käme mir z.B. eine Exponentialverteilung in den Sinn
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation gleichverteiler Zufallsvariable => Lognormalverteilt?
Dein spontaner Einfall ist richtig. Y ist exponentialverteilt mit Verteilungsfunktion



und Dichtefunktion



Das ergibt sich unmittelbar aus der Transformationsgleichung. Da muss man nicht raten.
Taco Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation gleichverteiler Zufallsvariable => Lognormalverteilt?
Zitat:
Original von Huggy
Dein spontaner Einfall ist richtig. Y ist exponentialverteilt mit Verteilungsfunktion



und Dichtefunktion



Das ergibt sich unmittelbar aus der Transformationsgleichung. Da muss man nicht raten.


Hi,

danke erstmal! Inwiefern ergibt sich das? Ich selbst sehe nicht, wie man darauf kommt?!

Ich habe nun noch einige Stunden mit Mathematica rumgespielt und letztendlich über die 1. Ableitung der Inversen Funktion der Transformationsgleichung eine Dichtefunktion gefunden, die wenn ich sie Plotte exakt dem Histogram zu entsprechen scheint, für

Y = -50*log(1-X)

(man beachte hier die -50 als vorfaktor) ergibt sich bei mir als Funktion



kommt das hin?!
Taco Auf diesen Beitrag antworten »

(sorry - in der letzten formel in meinem vorherigen Post sollten die "a"s natürlich "y"s sein, kanns leider nicht editieren)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformation gleichverteiler Zufallsvariable => Lognormalverteilt?
Zitat:
Original von Taco
danke erstmal! Inwiefern ergibt sich das? Ich selbst sehe nicht, wie man darauf kommt?!

Du kannst doch die Verteilungsfunktion einfach ausrechnen. X ist gleichverteilt in [0, 1], hat also die Verteilungsfunktion



Nun sei . Die Verteilungsfunktion von Y ist definiert als:



Man bekommt

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