Bild einer sigma-Algebra

24.08.2010, 16:56

saz

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Bild einer sigma-Algebra

Bekanntlich ist ja unter jeder Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{R},\mathcal{A}) \to (\mathbb{R},\mathcal{A}') \end{eqnarray*}$ die Urbild-sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal{A}') \end{eqnarray*}$ eine sigma-Algebra. Im Gegenzug ist aber das Bild $\begin{eqnarray*} f(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt eine sigma-Algebra. Irgendwie fällt mir aber gerade kein Gegenbeispiel ein. Kann mir da jemand aushelfen?

Danke!

24.08.2010, 17:24

Lord Pünktchen

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RE: Bild einer sigma-Algebra
Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal A') \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist verwendet man, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} (\bigcup_{n \in \mathbb N} A_i') = \bigcup_{n \in \mathbb N} f^{-1} (A_i') \end{eqnarray*}$

... villeicht kann man ja ein f erzeugen, s.d. $\begin{eqnarray*} f(\bigcup_{n \in \mathbb N} A_i) \neq \bigcup_{n \in \mathbb N} f(A_i) \end{eqnarray*}$ und das irgendwie ausnutzen ... Sigma-Algebren müssen ja Sigma-Vereinigungsstabil sein ...

... nur so eine Idee meinerseits ... hoffentlich hilft sie.

24.08.2010, 19:21

saz

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Mh, das hatte ich mir auch schon überlegt, bin aber nicht so richtig vorangekommen.

Mein alternativer Gedanke war, dass auch der Schnitt (abzählbar vieler Menge) in der sigma-Algebra sein muss und für zwei Mengen ist dies gerade der Fall, wenn f injektiv. Also sollte man vllt. etwas nicht-injektives betrachten.

Hmm, ich überlege nochmal... vllt hab ich ja noch einen Gedankenblitz. verwirrt

verwirrt

Edit: Was du geschrieben hast, stimmt ja so gar nicht. Es gilt doch für jede Abbildung

$\begin{eqnarray*} f \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_i \right) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} f(A_i) \end{eqnarray*}$

... nur (wie oben schon erwähnt) für den Schnitt geht's eben nicht. Also muss man wohl da irgendeinen Widerspruch finden verwirrt

verwirrt

Edit2: Was mich übrigens zusätzlich irritiert, ist die Tatsache, dass in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (also Borelmengen) gesetzt wird. Aber: Die Borel-Sigma-Algebra kenne ich doch gar nicht richtig - ich weiß ja nur, dass bestimmte Mengen darin sind (also offen/abgeschlossen/komplex/...), aber in der obigen Aufgabe müsste ich ja zeigen, dass keine Borel-Menge als Urbild existiert... verwirrt

verwirrt

24.08.2010, 21:13

giles

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Also wenn die Aussage tatsächlich falsch ist dann muss es daran liegen, dass man nicht mit jeder Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einfach definieren kann

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}' := \mathcal{A} , \mathfrak{A}:= \mathcal{A}', g:= f^{-1} \end{eqnarray*}$

und dann auf $\begin{eqnarray*} g: ( \mathbb{R},\mathfrak{A})\to (\mathbb{R},\mathfrak{A}') \end{eqnarray*}$ den Satz anwenden.
Ist f injektiv dann geht das. Also o.e. f nicht injektiv, dann gilt nur

$\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

im Gegensatz zu Urbildern wo auch

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A' \cap B') = f^{-1}(A') \cap f^{-1}(B') \end{eqnarray*}$

Ich würde also besonderes Augenmerk auf die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A} \Rightarrow A^\mathcal{C} \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

legen.

24.08.2010, 21:30

saz

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Zitat:

Original von giles

Ich würde also besonderes Augenmerk auf die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A} \Rightarrow A^\mathcal{C} \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

legen.

Mh, das ist ja schön und gut. Aber: Wenn ich zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A_1',A_2' \in f(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ betrachte, müsste ja (wenn es eine sigma-Algebra wäre) auf jeden Fall gelten

$\begin{eqnarray*} A_1' \cap A_2' \in f(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} (A_1')^c \in f(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt: Mein Problem ist gerade irgendwie, dass für $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ (Borel-sigma-Algebra) ich ja gar nicht weiß, welche Mengen nicht in der sigma-Algebra enthalten sind, d.h. ich kann ja auch über das Bild dieser (mir recht unbekannten) Menge gar nicht viel aussagen... und das müsste ich aber können, wenn ich eine der beiden obigen Aussagen widerlegen will (also ein Gegenbeispiel finden)...

Anmerkung: Hatte oben ja allgemein $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ als sigma-Algebra auf dem Definitionsbereich angegeben, aber in der Aufgabe ist eigentlich $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

24.08.2010, 21:45

gonnabphd

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Hi,

Wie wärs denn, wenn man einfach eine Funktion nimmt, deren Bild nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

Dann wäre schonmal sicher eine Eigenschaft von Sigma-Algebren verletzt, oder denke ich jetzt zu einfach? verwirrt

verwirrt

smile

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24.08.2010, 21:48

giles

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Zitat:

Original von gonnabphd
Wie wärs denn, wenn man einfach eine Funktion nimmt, deren Bild nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

Dann wäre schonmal sicher eine Eigenschaft von Sigma-Algebren verletzt, oder denke ich jetzt zu einfach? verwirrt

verwirrt

Das hatte ich auch schon überlegt schien mir aber zu einfach um wahr zu sein.

Andererseits ist der Unterschied zwischen "ich denke zu einfach" und "alle anderen denken zu kompliziert" womöglich nur Perspektive. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2010, 21:51

gonnabphd

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Zitat:

Andererseits ist der Unterschied zwischen "ich denke zu einfach" und "alle anderen denken zu kompliziert" womöglich nur Perspektive. Augenzwinkern

Haha, in der Tat. Big Laugh

Big Laugh

Wie gesagt, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist, dann wird's womöglich ein bisschen schwierig, $\begin{eqnarray*} f(\mathbb R)^c \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu finden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2010, 21:54

saz

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Mh ja, aber es ist ja eigentlich nicht vorgeschrieben, über welcher Grundmenge die sigma-Algebra (des Bildes) definiert sein soll. Ansonsten könnte man ja auch einfach

$\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$

nehmen und hätte ein Gegenbeispiel. Aber ganz so einfach ist es glaube ich nicht.

Edit: Vllt noch was - in der Aufgabe stand als Tipp, dass man $\begin{eqnarray*} f(x) x^2 \end{eqnarray*}$ und die Borel-Mengen (-1,0) und (0,1) betrachten soll. Aber das verstehe ich gar nicht, weil ja f((-1,0))= f((0,1))...

24.08.2010, 22:24

gonnabphd

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Du willst also unbedingt ein nichttriviales Gegenbeispiel... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich versuch's mal:

Definiere eine Sigma-Algebra über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als alle Mengen der Form $\begin{eqnarray*} \{ \mathbb R ^{-} \setminus S ; S \subset (\mathbb Z - 1/2) \} \end{eqnarray*}$ sowie die Mengen $\begin{eqnarray*} \{ \mathbb R ^{+} \setminus T ; T \subset \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$ und definiere

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R ^{+}, \; f(x) = |x| \end{eqnarray*}$

Das sollte hinhauen.

Gruss.

Edit: Natürlich auch Vereinigungen von solchen Mengen.

24.08.2010, 22:29

saz

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Hm danke, ich werd dein Beispiel mal durchdenken. Aber mit der Borel-sigma-Algebra fällt dir nichts ein...?

(Mich wundert das alles insofern, als dass die Frage bei einer Auflistung von klausurähnlichen Aufgaben in einer Teilaufgabe nur als "Nebenfrage" auftauchte - und da sollte es doch eigentlich ein nicht-triviales, aber gut herausfindbares Gegenbeispiel geben.)

24.08.2010, 22:35

gonnabphd

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Hmm, kannst du vielleicht mal den genauen Wortlaut der Teilaufgabe angeben?

24.08.2010, 22:37

giles

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RE: Bild einer sigma-Algebra

Zitat:

Original von saz
Mh ja, aber es ist ja eigentlich nicht vorgeschrieben, über welcher Grundmenge die sigma-Algebra (des Bildes) definiert sein soll.

Es ist ja auch nicht relevant wie schwer ein Beispiel ist und es ist auch nicht nach explizit nicht-trivialen Gegenbeispielen gefragt oder nach welchen die man nicht durch ändern der Grundmenge wieder zu einer sigma-Algebra machen kann. Die Aussage ist lediglich:

Zitat:

Original von saz
Im Gegenzug ist aber das Bild $\begin{eqnarray*} f(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt eine sigma-Algebra.

Ist f nicht surjektiv, ist das definitiv *nicht* der Fall und damit ist es schon beantwortet. Gerade eine Klausuraufgabe gibt sich auch mit Trivialbeispielen zufrieden.

24.08.2010, 22:43

gonnabphd

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Ich denke da ähnlich wie giles.

Und ausserdem: Wenn man $\begin{eqnarray*} f(x) := x^2 \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ auffasst, dann ist das Bild von der Borel-sigma-Algebra ebenfalls eine Sigma-Algebra!

(denn diese ist ja sozusagen "symmetrisch" auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (um den Nullpunkt) und die Beschränkung $\begin{eqnarray*} f|_{\mathbb R ^+}: \mathbb R^+ \to \mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, also kann man mit der Umkehrabbildung argumentieren wie oben.)

Zitat:

Bekanntlich ist ja unter jeder Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{R},\mathcal{A}) \to (\mathbb{R},\mathcal{A}') \end{eqnarray*}$ die Urbild-sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal{A}') \end{eqnarray*}$ eine sigma-Algebra.

24.08.2010, 22:46

saz

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@gonnabphd Mh ja, klar.

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum. [...] Es sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to X \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ eine sigma-Algebra ist. Ist $\begin{eqnarray*} f(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ immer eine sigma-Algebra? Tip: Betrachte $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R}, f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ und die Borelmengen (-1,0),(0,1)

@giles Du hast natürlich recht - wenn man nicht angibt, über welcher Menge die sigma-Algebra definiert sein soll, ist natürlich eigentlich jede nicht-surjektive Funktion ein Gegenbeispiel. Ich glaube nur eigentlich nicht, dass die Aufgabe so gemeint war (und es interessiert mich natürlich auch einfach, ob es auch anders geht. Ich hätte z.B. intuitiv $\begin{eqnarray*} \Omega' := f(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gewählt.)

Was mich dann aber trotzdem verwirrt (wenn ihr euch so einig seid smile

smile

) : Was sollen dann die angegeben Borel-Mengen? Die brauche ich doch dann überhaupt nicht.

Und zu gonnabphds zweitem Beitrag: So wie es in dem Tipp steht, soll man ja $\begin{eqnarray*} X= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ setzen...

Alles komisch verwirrt

verwirrt

24.08.2010, 22:55

gonnabphd

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Zitat:

Und zu gonnabphds zweitem Beitrag: So wie es in dem Tipp steht, soll man ja $\begin{eqnarray*} X= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$ setzen...

Ja, aber dann ist aus der ersten Argumentation sowieso klar, weshalb das dann keine Sigma-Algebra sein kann. Und das hatte ich doch eh' nur erwähnt, um zu zeigen, dass unter der Voraussetzung

Zitat:

Ich hätte z.B. intuitiv $\begin{eqnarray*} \Omega' := f(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ gewählt.

der Tipp falsch wäre. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was die mit diesen beiden speziellen Mengen wollen, weiss ich auch nicht. Vielleicht soll das einfach daran erinnern, dass f(x) nicht surjektiv ist? Keine Ahnung.

Vielleicht kann man's noch auf eine schwierigere Art und Weise zeigen. Big Laugh

Big Laugh

24.08.2010, 23:00

saz

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Hm okay, dann habe ich mir wohl nur wiedermal zuviele Gedanken gemacht. Wenn ihr euch beide einig seid, wird es schon dann tatsächlich so sein wie ihr es "deutet".

Danke an euch beide für eure Ausdauer + Geduld! smile

smile

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