Volumen einer Halbschale berechnen

24.08.2010, 17:01	BeMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen einer Halbschale berechnen Meine Frage: Hi! Ich habe folgende Aufgabe: [attach]15821[/attach] (Das $\begin{eqnarray} y\geq 0 \end{eqnarray}$ sollte wohl besser $\begin{eqnarray} z\geq 0 \end{eqnarray}$ heißen) Meine Ideen: Ich glaube zu wissen, dass ich das ganze über ein Dreifachintegral lösen muss. Dann ist das ganze Teil auch noch ein Rotationskörper (also kann ich für meine Funktion einfach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ schreiben) & Zylinderkoordniaten machen das Leben scheinbar auch einfacher... Also bin ich Momentan soweit: $\begin{eqnarray} \int_a^b \int_a^b \int_a^b \! r \, dz dr dphi \end{eqnarray}$ Das Problem sind nun meine Grenzen... 1.Integration(innere, dz): Würde ich für die obere Grenze 4 einsetzen und für die untere $\begin{eqnarray} x^{2} + y^{2} \end{eqnarray}$ 2.Integration: Habe ich leider keinen blassen schimmer 3.Integration: von 0 bis 2pi ?! Bitte berichtigt mich, sollte ich falsch liegen Schonmal Danke
24.08.2010, 19:55	saxolophon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, So würde ich es rechnen: Teile das Parabloid in kleine Zylinder der Dicke dz mit Radius r auf. Dann hast du als infinitisimal kleines Volumen dV=pi * r^2 * dz Jetzt musst du noch r als z ausdrücken und über dV integrieren. Wenn du es als Dreifachintegral lösen willst: $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! r \, dr\int_0^6 \! \, dphi \int_a^b \! \, dz \end{eqnarray}$ Die 6 steht für 2 pi, weil pi ja bekanntlich genau 3 ist Für die Grenzen im Letzten Integral musst du dir überlegen wie hoch deine Zylinder im Abstand r sind. die Grenzen hängen von r ab. Tipp: die Höhe von jedem zylinder is in abhängigkeit von z logischerweise immer (4-z) Als Lösung hab ich 8pi raus, kannst ja vergleichen.

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