Vollständige Induktion

24.08.2010, 17:13	Bladawin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hi, studiere zwar noch nicht Mathematik, allerdings werde ich das ab Oktober tun und bereite mich schon mal drauf vor. Habe dann nach Übungsaufgaben gegoogelt und auch schon zwei über die vollständige Induktion lösen können. Jedoch komm ich bei folgender Aufgabe einfach auf keinen Ansatz: Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass 133 ein Teiler von $\begin{eqnarray} 11^{n+1} + 12^{2n-1} \end{eqnarray}$ ist. ( $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: Ich weiß einfach nicht, wie ich sowas in einen Ansatz verpacken soll oder kann. Was mir klar ist, ist, dass es für n = 1 gilt, somit noch der Induktionsschritt für n+1 fehlt. Auch bin ich mir im Klaren darüber, dass $\begin{eqnarray} \frac {11^{n+1} + 12^{2n-1}}{133} \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ergeben muss.
24.08.2010, 17:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade zu Anfang empfiehlt es sich, auch auf die Formalitäten zu achten. Schreiben wir deine bisherigen Ergebnisse also mal formal auf: $\begin{eqnarray} \text{Behauptung:}~133 \mid 11^{n+1}+12^{2n-1}~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Beweis per vollständiger Induktion über}~n: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{IA:}~n=1,~ 11^{1+1}+12^{2\cdot 1-1}=11^2+12=133~\checkmark \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{IV: Die Behauptung gelte für ein}~n\in\mathbb N. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{IS}: n\rightarrow n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 11^{(n+1)+1}+12^{2(n+1)-1}=11^{n+2}+12^{2n+1} \end{eqnarray}$ Soweit solltest du ja schon gekommen sein, jetzt solltest du im Induktionsschritt soweit umformen, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
24.08.2010, 17:23	Arnold Beckenbauer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Beachte folgendes: $\begin{eqnarray} 12^{2n+1}=144\cdot 12^{2n-1}=(133+11)\cdot 12^{2n-1} \end{eqnarray}$
24.08.2010, 18:14	Bladawin	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank euch beiden!!! @Iorek: Bei mir auf dem Blatt Papier steht das schon so ähnlich, kenne mich nur noch ncht mit der Latex-Funktion aus. Habe noch eine Frage bzw. will wissen, ob das so richtig ist. Wie Arnold Beckenbauer schon meinte: $\begin{eqnarray} 12^{2n+1} = (133+11) \cdot 12^{2n-1} \end{eqnarray}$ Es gilt ebenfalls: $\begin{eqnarray} 11^{n+2} = 11 \cdot 11^{n+1} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} 11^{n+2} + 12^{2n+1} = 11 \cdot 11^{n+1} + (133+11) \cdot 12^{2n-1} = 11 \cdot (11^{n+1} + 12^{2n-1}) + 133 \cdot 12^{2n-1} \end{eqnarray}$ Da laut Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray} 11^{n+2} + 12^{2n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, sollte das eigentlich so bewiesen sein, richtig? Die erste Klammer ist dadurch definitiv durch 133 teilbar und wenn man die natürliche Zahl $\begin{eqnarray} 133 \cdot 12^{2n-1} \end{eqnarray}$ dazuaddiert, was den Primfaktor 133 ebenfalls enthält, ist der ganze Term ebenfalls durch 133 teilbar. Liege ich richtig, oder muss ich noch etwas tun?
24.08.2010, 18:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Umformung vllt. noch etwas genauer kennzeichnen, das kann aber auch an meinen Tutoren hängen, die für zwei Schritte, die man im Kopf durchführt, ganz gerne mal Punkte abgezogen haben Der Beweis ist aber auch so richtig.

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