Linearisierung eines Differentialgleichungsystems

24.08.2010, 18:38	S3B	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung eines Differentialgleichungsystems Hallo, Ich habe in einem Lehrbuch ein Modell zur Simulation des Golfstroms gefunden. Es handelt sich dabei um ein nicht-lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung: $\begin{eqnarray} \frac{dT}{dt} =& \left( 1 - T \right) - \left\| q\left(T,S\right) \right\| T\\<br /> \frac{dS}{dt} =& \gamma\left( 1 - S \right) - \left\| q\left(T,S\right) \right\| S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q\left(T,S\right)= \alpha T -\beta S \end{eqnarray}$ Um Aussagen über die Stabilität dieses Systems treffen zu können, muss das System im Gleichgewichtspunkt $\begin{eqnarray} \bar{q}(\bar{T}\bar{S}) \end{eqnarray}$ linearisiert werden und die Systemmatrix A aufgestellt werden. Im nächsten Schritt wird das linearisierte System im Buch angegeben. Leider ist nicht genauer erläutert wie das System linearisiert worden ist. $\begin{eqnarray} \text{det}(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} -1-\|\bar{q}\|_{\bar{T}}\bar{T}-\|\bar{q}\|-\lambda & -\|\bar{q}_{\bar{S}}\|\bar{T} \\ -\|\bar{q}\|_{\bar{T}}\bar{T} & -\gamma-\|\bar{q}\|_{\bar{S}}\bar{S}-\|\bar{q}\|-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Für mich sieht das so aus als wurde für die Linearisierung die Jacobi Matrix verwendet. Allerdings weiß ich nicht wie man auf das $\begin{eqnarray} -\|\bar{q}\| \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{22} \end{eqnarray}$ kommt. Wäre schön wenn mir jemand da auf die Sprünge helfen könnte.
25.08.2010, 11:05	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearisierung eines Differentialgleichungsystems Dein nichtlinerares Dgl-System soll in eine lineares System umgewandelt werden, um die Lösung zu vereinfachen. Das funktioniert nur "in der Nähe" des Gleichgewichtspunktes $\begin{eqnarray} (\overline T, \overline S) \end{eqnarray}$ , also dort, wo es nur kleine Abweichungen $\begin{eqnarray} \Delta T, \Delta S \end{eqnarray}$ vom Gleichgewichtspunkt $\begin{eqnarray} \overline T, \overline S \end{eqnarray}$ gibt. Wir setzen dort also für die Temperatur T und die Entropie S $\begin{eqnarray} T=\overline T+\Delta T \end{eqnarray}$ _______(1) $\begin{eqnarray} S=\overline S+\Delta S \end{eqnarray}$ ________(2) Damit entwickelt man die Ausdrücke \|q(T,S)\|T und \|q(T,S)\|S, welche im Dgl-System vorkommen, am Gleichgewichtspunkt in einer Taylorreihe bis zur 1.Ordnung. Mit der Produkt- und Kettenregel erhält man für dies Terme folgende Näherungen $\begin{eqnarray} \|q(T,S)\|\cdot T\approx\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline T+\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial T}\overline T+\|q\| \right ) \cdot \Delta T+\frac{\partial \|q\|}{\partial S} \overline T\cdot \Delta S+... \end{eqnarray}$ ________(3) $\begin{eqnarray} \|q(T,S)\|\cdot S\approx\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline S+\frac{\partial \|q\|}{\partial T} \overline S\cdot \Delta T+\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial S}\overline S+\|q\| \right ) \cdot \Delta S+... \end{eqnarray}$ ________(4) Wir setzen (3), (4)in das ursprüngliche Dgl-System ein und erhalten, wenn wir dort die ersten Summanden auf der rechten Seite mit (1), (2) ausdrücken $\begin{eqnarray} \Delta \dot T=1-\overline T-\Delta T-\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline T-\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial T}\overline T+\|q\| \right ) \cdot \Delta T-\frac{\partial \|q\|}{\partial S} \overline T\cdot \Delta S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta \dot S=\gamma\cdot (1-\overline S-\Delta S)-\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline S-\frac{\partial \|q\|}{\partial T} \overline S\cdot \Delta T-\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial S}\overline S+\|q\| \right ) \cdot \Delta S \end{eqnarray}$ In Matrixform bedeutet dies $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \Delta \dot T \\ \Delta \dot S \end{pmatrix} =\underbrace{ \begin{pmatrix} 1-\overline T -\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline T\\ \gamma\cdot (1-\overline S) -\|q(\overline T, \overline S)\|\cdot \overline S \end{pmatrix}}_{konstanter\,\,Vektor} + \underbrace{\begin{pmatrix} -1-\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial T}\overline T+\|q\| \right ) & -\frac{\partial \|q\|}{\partial S} \overline T \\ -\frac{\partial \|q\|}{\partial T} \overline S & -\gamma-\left (\frac{\partial \|q\|}{\partial S}\overline S+\|q\| \right ) \end{pmatrix}}_{konstante\,\,2x2-Matrix} \begin{pmatrix} \Delta T \\ \Delta S \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist das gesuchte linearisierte Dgl-System. Man berechnet dessen Lösung standardmäßig durch bestimmen der Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Koeffizientenmatrix usw. Der konstante Vektor auf der rechten Seite ist für das qualitative Aussehen der Lösung relativ unwichtig, denn er liefert nur einen zusätzlichen konstanten Summanden (=Vektor) in der Lösung. Die Lösungen dieses Systems sind zunächst nur die "kleinen" Funktionen $\begin{eqnarray} \Delta T, \Delta S \end{eqnarray}$ . Die gesuchten Funktionen sind (1), (2). Wie gesagt, (1), (2) sind nur Näherungen, die in der Nähe des Gleichgewichtes gelten.
26.08.2010, 18:13	S3B	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank nochma! Konnte alles nachvollziehen

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