Extrem- und Wendepunkte

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24.08.2010, 20:26	Maxim20	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrem- und Wendepunkte Extrem- und Wendepunkte folgender Funktion sollen ermittelt werden: $\begin{eqnarray} f(x) =\frac{x^3 - 3x + 2}{x^2} \end{eqnarray}$ Ich würde die Quotienregel nun anweden: $\begin{eqnarray} u=x^3 -3x +2; u'=3x^2 -3; v= x^2; v'=2x \end{eqnarray}$ Nach dem kürzen blieb das übrig: $\begin{eqnarray} f'(x) =\frac{x^3 + 3x - 4}{x^3} \end{eqnarray}$ Stimmt das? Um einen Extrempunkt bestimmen zu klönnen muss ich die 1.Ableitung = 0 setzen, doch wie soll ich dann nach x auflösen? Danke für jede Hilfe.
24.08.2010, 20:38	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrem- und Wendepunkte die ableitungen deiner funktionen (u(x) und v(x)) sind richtig, aber irgendwie hat sich ein vorzeichenfehler bei dir eingeschlichen: $\begin{eqnarray} f'=\frac{(x^3-3x+2)2x-x^2(3x^2-3)}{x^4}=\frac{-x^3-3x+4}{x^3}=-\frac{x^3+3x-4}{x^3} \end{eqnarray}$ . nun, das ist auch richtig, die ertste ableitung =0 setzen. du musst dabei den zähler =0 setzen, denn der nenner ist soundso ungleich 0.
24.08.2010, 20:39	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, deine 1. Abl. ist richtig. Setze das ganze halt mal gleich 0, dann versuchst du, eine Lösung zu "erraten" bzw. einfach mal genau hinschauen und dann führt du eine Polynomdivision durch. edit:Hm, also ich komm auch auf das vom Threadstarter...Aber ist ja, wenn dann, nur ein Rechenfehler
24.08.2010, 20:43	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip brauchst du sowieso nur einmal raten oder genauer hinsehen, denn die anderen beiden Nullstellen sind aus den komplexen Zahlen
24.08.2010, 21:10	Maxim21	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnellen Antworten. Das war wohl einfacher als gedacht Heute bin ich mal verrückt drauf und versuche es mit x=1. $\begin{eqnarray} f'(x) = 1^3+31 - 4 = 0 -> 4-4 =0 \end{eqnarray}$ Stimmt sogar :P Eine Frage an lgrizu: Der Nenner ist soundso ungleich Null, weil keine Potenz 0 ergibt, oder? So nun die 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{-3x+12}{x^4} \end{eqnarray}$ Setze ich hier nun x=1 ein: $\begin{eqnarray} f''(x)=-3+12 = 9 \end{eqnarray}$ Es liegt also ein Tiefpunkt vor, da die 2.Ableitung größer als 0 ist. So nun ist auch nach den lokalen Wendepunkten gefragt, also muss ich jetzt einen X-Wert finden, bei dem die 2.Ableitung = 0 ergibt? Mit erraten würde ich auf 4 tippen. $\begin{eqnarray} f''(x) = \frac{-34+12}{4^4} = 0 \end{eqnarray}$ Das heißt bei x=4 liegt ein Wendepunkt vor. Und um nun die Krümmung zu bestimmen muss ich den Punkt in die 3.Ableitung einsetzen?! Ich danke ihnen alllen nochmal herzlichst!
24.08.2010, 21:21	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau, für die Krümmung den Punkt in die 3. Ableitung einsetzen. Den Nenner braucht man eigentlich nicht beachten, weil er beim Multiplizieren sowieso wegfällt. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} 0 = \frac{-3x + 12}{x^{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| x^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = -3x + 12 \end{eqnarray*}$
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24.08.2010, 21:36	Maxim22	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das anschauliche Beispiel tobsen02 3.Ableitung: $\begin{eqnarray} f'''(x) =\frac{15x-4}{x} \end{eqnarray}$ Krümmung bestimmen: x=4 $\begin{eqnarray} \frac{154-4}{4} = 14 \end{eqnarray}$ Die 3.Ableitung ist größer als 0, also ein Rechts-Links-Übergang. Wie schreibt man das eignentlich? $\begin{eqnarray} f'''(4) > 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f'''(xW) > 0 \end{eqnarray*}$ Danke nochmal!
24.08.2010, 22:16	Maxim23	Auf diesen Beitrag antworten »
2.Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)= 3x^2 +12x + 9 \end{eqnarray}$ PQ-Formel: $\begin{eqnarray} 3x^2 +12 x +9 \| :3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^2 +4x + 3= -2 +- Wurzel(4-3) \end{eqnarray}$ x1=-1 x2=-3 $\begin{eqnarray} f''(x) = 6x +12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = 6 \end{eqnarray}$ Wendepunkt: $\begin{eqnarray} f''(x)= 6(-2)+12 = -12 + 12 = 0 \end{eqnarray*}$ Nun kann ich den Wert schlecht in die 3.Ableitung einsetzen.
24.08.2010, 22:54	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Gleichung nach x auflösen. $\begin{eqnarray} 0 = 6x + 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -12 = 6x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2 = x \end{eqnarray}$
24.08.2010, 23:09	Maxim24	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey tobsen Okey, dankeschön. Aber die 3.Ableitung ist 6, da kann ich die -2 nicht mehr einsetzen um die Krümmung zu bestimmen oder?
24.08.2010, 23:19	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsetzen kannst du x schon, die dritte Ableitung ist ihrer Definition nach immer noch abhängig von x, es gilt nämlich $\begin{eqnarray} f'''(x) = 6 \end{eqnarray}$ . D.h. wenn du 6 für x einsetzt $\begin{eqnarray} f'''(6) = 6 \end{eqnarray}$ kommt als Funktionswert immer 6 heraus, weil das x die Funktionsgleichung in diesem Fall nicht beeinflusst. Da aber bei einer Rechts-Links-Wendestelle gilt: $\begin{eqnarray} f'''(x) > 0 \end{eqnarray}$ und der Funktionswert mit 6 immer größer als Null ist, liegt auch beim Wendepunkt eine Rechts-Links-Wendestelle vor.
24.08.2010, 23:21	Maxim25	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie immer super erklärt tobsen!! Ich danke dir, und wünsche dir noch einen schönen Abend!

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