Schnellster Weg

24.08.2010, 19:26

Sender

Schnellster Weg

Wenn ich eine Straße s habe auf der ein Punkt B liegt (wo ein Fußgänger hin möchte) und einen Punkt A (Standpunkt des Fußgängers), welcher im Abstand von 400m zum Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße liegt. Der Punkt C ist außerdem 1000m vom Punkt B entfernt.
Wenn der Fußgänger auf der Straße läuft ist er doppelt so schnell, wie auf dem Feld daneben.

Welchen Weg sollte der Fußgänger einschlagen, um möglichst schnell von Punkt A zu B zu kommen?

$\begin{eqnarray*} BC=1000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AC=400 \end{eqnarray*}$

Die Geschwindigkeit auf der Straße ist ja doppelt so hoch wie die auf dem Feld:
$\begin{eqnarray*} v_{s} = 2*v_{a} \end{eqnarray*}$

Das heißt vom Punkt A bis zur Straße braucht der Fußgänger doppelt so lange wie vom Punkt S auf der Straße bis zum Punkt B., die Gesamtzeit muss minimal sein:
$\begin{eqnarray*} AS*2+SB*1=min. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} AB=\sqrt{400^2+1000^2} = 200*\sqrt{29} \end{eqnarray*}$
Die Strecke AB ist ca. 1077,03m lang. Die länge dieser Strecke ändert sich nicht.

Der Winkel, welcher von AB und CB eingeschlossen wird, verändert sich auch nicht
$\begin{eqnarray*} \alpha = \sin^{-1} (\frac{400}{200*\sqrt{29} }) = 21,8 \end{eqnarray*}$

so und jetzt weiß ich ganz viele tolle sachen, aber immernoch nicht,w as ich damit anfangen soll... Und ich hoffe ich hab das mit dem Fußpunkt C des Lotes von A richtig verstanden.
Was mach ich denn jeztz?

24.08.2010, 22:50

mYthos

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Du benötigst weder die Strecke AB noch den angesprochenen Winkel.
Allerdings könnte man in der Zielfunktion als Variable schon diesen Winkel einführen, dabei müssten dann die Längen in Funktionen eben dieses Winkels ausgedrückt werden, was hier nicht viel Ersparnis bringt.

Es ist tatsächlich richtig, dass der Weg 2*AS + SB zu minimieren ist. Das ist nicht weiter schwer, weil darin nur eine einzige Variable vorkommt.
Setzen wir x = CS, dann ist SB = 1000 - x und

$\begin{eqnarray*} AS = \sqrt{x^2 + 160000} \end{eqnarray*}$ .

So, und nun addiere die beiden in Frage kommenden Wege (AS und SB) und minimiere die dadurch entstehende Funktion.
Mit der Kenntnis von x besitzen wir dann alle zu berechnenden Strecken.

mY+

25.08.2010, 19:04

Sender

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Danke...
Allerdings hab ich einen Weg mit meiner Seite und meinem 'Winkel und dem Kosinussatz, habe gerade nachgerechnet und komme auf die selben Werte. Trotzdem vielen Dank! (dein Vorschlag wäre wesentlich einfacher gewesen...)

Die Aufgabe hat noch einen Teil b) an dem ich jetzt festhänge:
Wie hängt die Lösung von der Länge der Strecke BC ab?

Ich habe keine Ahnung, was ich da machen soll... Die Aufgabe verstehe ich leider nicht.

26.08.2010, 23:23

mYthos

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Was hindert dich, mit meinem Weg zu rechnen, oder darfst du das etwa nicht? Das wäre dann doch traurig.

Zitat:

Original von Sender
...
Wie hängt die Lösung von der Länge der Strecke BC ab?
...

Natürlich gar nicht! Weshalb? Siehe dir einmal die Ansatzfunktion an (leider (?) musst du weiterhin mit meinem Weg vorlieb nehmen), statt BC = 1000 setze BC = a:

$\begin{eqnarray*} t(x) = a - x + 2 \sqrt{x^2 + 160000} \end{eqnarray*}$

Was passiert nun, wenn man t(x) nach x ableitet?
mY+

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