Gleichungen, Verständnisfrage

25.08.2010, 09:48

Dasiggo

Gleichungen, Verständnisfrage

Edit (mY+): Es heisst Verständnis, Titel berichtigt.

Hallo,

wenn ich z.B. diese Rechnung habe:

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{x-a}=\sqrt{3x+a} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun beide Wurzeln quadriere wird das - vorne weggenommen und ich kann keine richtige Lösung mehr errechnen.

wenn ich das $\begin{eqnarray*} - \sqrt{x-a} \end{eqnarray*}$ nach rechts schiebe

$\begin{eqnarray*} 0=\sqrt{3x+a} + \sqrt{x-a} \end{eqnarray*}$

Handelt es sich doch immer noch um dieselbe Gleichung oder? Deswegen kann ich auch hier kein richtiges Ergebnis errechnen. Korrigiert mich wenn ich falsch liege.

auch bei

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3x+a} - \sqrt{x-a}=0 \end{eqnarray*}$

Frage 2:

wenn ich folgende Situation habe:

$\begin{eqnarray*} a+bx=2a+b \end{eqnarray*}$ und Ich möchte nach x auflösen geht doch eigentlich Punkt- vor Strichrechnung. Ich müsste also erst rechts durch b teilen und dann -a.

x ist ungekannt:

In der Rechnung $\begin{eqnarray*} 4+2*(a+c)\sqrt{a+c} + xb + c= 44 \end{eqnarray*}$ Müsste ich doch erst die Wurzel weg kriegen, dann dass mit 2*(a+c) ausmultiplizieren und müsste ich dennoch erst durch b teilen und die anderen + und - rüberbringen.

Oder?
Mir sind bisher nur Rechnungen bekannt gewesen, wo x alleine stand. Aber wenn x eben nicht alleine steht weiß ich nicht ob ich erst Mal bzw. Geteilt rechnen muss oder nicht.

edit:

Oder ist es egal was ich tue, aber x bzw. x und sein anhängsel müssen zu aller erst auf einer Seite alleine stehen und dann kann ich das Anhängsel weg nehmen?

25.08.2010, 09:57

Johnsen

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Zu 1)

Potenzieren ist keine Äquivalenzumformung, deswegen kann es tatsächlich sein, dass nach dem Potenzieren Ergebnisse herauskommen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.

zu 2)

E gilt immer Punkt-vor-Strich, aber trotzdem hättest du in deinem Beispiel falsch aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} a+bx=2a+b \end{eqnarray*}$
Zunächst wird auf beiden Seiten -a gerechnet:

$\begin{eqnarray*} bx = 2a+b-a = a+b \end{eqnarray*}$

Nun wird durch b geteilt (eigentlich Fallunterscheidung ob b = 0 ist oder nicht)

$\begin{eqnarray*} x = \frac{a+b}{b} \end{eqnarray*}$

Würde man deinen Rechenweg machen, würde man auf folgendes kommen:

$\begin{eqnarray*} a+bx=2a+b \end{eqnarray*}$
Geteilt durch b (fallunterscheidung)
Dann würde aber dastehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bx}{b} = \frac{2a+b}{b} \end{eqnarray*}$

jetzt würdest du -a rechnen, das jedoch ist falsch bzw. führt nicht zügig ans Ziel, du müsstst wenn dann -a/b rechnen, dann hast du auch x allein dastehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bx}{b} = \frac{2a+b}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{bx}{b} = \frac{2a+b}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{2a+b}{b}-\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Gruß

Johnsen

25.08.2010, 09:59

klarsoweit

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RE: Gleichungen Verständnissfrage

Zitat:

Original von Dasiggo
wenn ich z.B. diese Rechnung habe:

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{x-a}=\sqrt{3x+a} \end{eqnarray*}$

Ohne groß zu rechnen, hilft hier logisches Denken. Links steht etwas, was immer kleiner-gleich Null ist, der Term rechts ist immer größer-gleich Null. Damit ist sofort klar, was unter der Wurzel stehen muß.

Zitat:

Original von Dasiggo
$\begin{eqnarray*} a+bx=2a+b \end{eqnarray*}$ und Ich möchte nach x auflösen geht doch eigentlich Punkt- vor Strichrechnung. Ich müsste also erst rechts durch b teilen und dann -a.

Bei der Abarbeitung von Addition und Multiplikation geht die Multiplikation vor. Das hat aber mit der Umformung von Gleichungen nur indirekt etwas zu tun. Hier muß man das "bx" links alleine stellen. Dazu subtrahiert man auf beiden Seiten ein a. Mit dem Kommutativgesetz sorgt man dafür, daß dadurch das a auf der linken Seite verschwindet.

25.08.2010, 10:02

Pappnase

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RE: Gleichungen Verständnissfrage

Zitat:

Original von Dasiggo

$\begin{eqnarray*} 0=\sqrt{3x+a} + \sqrt{x-a} \end{eqnarray*}$

Frage 2:

wenn ich folgende Situation habe:

$\begin{eqnarray*} a+bx=2a+b \end{eqnarray*}$ und Ich möchte nach x auflösen geht doch eigentlich Punkt- vor Strichrechnung. Ich müsste also erst rechts durch b teilen und dann -a.
.

Hier mal ein paar Worte zu den Vorgehensweisen, die ich anwenden würde:

Zur Frage 1: Zuerst quadrierst du deine Gleichung. Bei dem Auflösen der binomischen Formel wird wieder ein Wurzelterm übrigbleiben, den du mit den Potenzgesetzen zusammenfassen kannst. Anschließend stellst du den Wurzelterm frei, quadrierst erneut und solltest so dann auf eine Lösung kommen. Probe nicht vergessen !!!

Zur Frage 2: Bringe zuerst alle Terme die das b enthalten auf eine Seite, alle die das b nicht enthalten auf die andere Seite. Klammer das b aus. Teile dann durch b und stelle danach x frei.

Zu deiner letzten Frage:

Um x zu berechnen bringst du alles, was kein x hat auf die eine und alles mit einem x auf die andere Seite der Gleichung. Ob du wirklich mit 2*(a+c) ausmultiplizieren musst weiß ich nicht, ich würde es einfach so stehen lassen.

25.08.2010, 10:05

pappnase

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klarsoweit war schneller und hat bei der ersten Aufgabe eine wesentliche Verbesserung über meine Holzhacker-Methode in diesem Fall gefunden Freude

25.08.2010, 10:09

Mystic

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Zitat:

Original von Johnsen
Zu 1)

Potenzieren ist keine Äquivalenzumformung, deswegen kann es tatsächlich sein, dass nach dem Potenzieren Ergebnisse herauskommen, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen.

Hm, sein Problem ist ja nicht, dass er zuviele Lösungen, sondern (wie er meint) zuwenige Lösungen erhält... Was hier wirklich zu tun ist, hat aber klarsoweit oben ohnehin schon ausgeführt...

25.08.2010, 16:16

Dasiggo

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Danke euch. Jetzt bin ich wieder auf dem richtigen Kurs.

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