Verständnisproblem - Erzeugendensystem

25.08.2010, 13:29

Alex44

Verständnisproblem - Erzeugendensystem

Hallo,

ich habe eine ziemliche Barrikade beim Thema Lineare Algebra.

Schon in den Grundlagen bleibe ich stecken. Habe gut ein Dutzend Definitionen des "Erzeugendensystems" versucht nachzuvollziehen, aber diese ziemlich umständlichen Darstellungen verstehe ich nicht.

Was ich verstanden habe verwirrt

:
Man betrachtet einen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (V,+,\times ) \end{eqnarray*}$ .
Selbiges $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ verkörpert diverse Vektoren $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ - also $\begin{eqnarray*} v_n \in V \end{eqnarray*}$
Man schreibt das dann so: $\begin{eqnarray*} Span V = Span \{ v_1,v_2,...,v_n\} \end{eqnarray*}$

Hier geht das Problem los:
Ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist das ein Auszug von Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} Span V \end{eqnarray*}$ , mit dem man alle anderen Vektoren im $\begin{eqnarray*} Span V \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Skalaren darstellen kann???
Diese kann man dann wieder zu einem Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zusammenfassen mit $\begin{eqnarray*} Span U = Span \{ v_1,v_2,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Ich habe ein Span mit 20 verschiedenen Vektoren und ich nehme mir 2 raus, mit denen ich jeden anderen Vektor aus dem Span darstellen kann.

Ist das so richtig geschockt

??? Und wie kann man sowas finden?

25.08.2010, 13:47

Airblader

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Da geht es mit den falschen Dingen leider recht früh los, darum fange ich lieber von vorne an:

Stell dir mal den normalen 3-dimensionalen Raum vor. Da gibt es unendlich viele Vektoren. Jetzt stellt man sich die Frage: Kann ich dieses Biest der Unendlichkeit irgendwie zähmen und den Vektorraum mit einer endlichen Sache kontrollieren?

Die Lösung kennt jeder intuitiv: Unser 3D-Raum hat, wie der Name sagt, drei Richtungen. Und diese drei Richtungen genügen, um überall hinzukommen!
Mathematisch formuliert: Wenn ich mir die drei Richtungen nehme und sie linearkombiniere, so kann ich jeden beliebigen Vektor erreichen.

Ein Erzeugendensystem ist dieser Idee sehr ähnlich:
Man hat einen Vektorraum V und sucht jetzt einfach eine Menge von Vektoren, die genügen, um daraus jeden beliebigen anderen Vektor linearzukombinieren. Wenn man solch eine Menge gefunden hat, dann sagt man, dass diese Vektoren den Vektorraum "aufspannen", bzw. eben der lineare Aufspann dieser Vektoren ist gleich V.

Wichtig ist hierbei: Ein Erzeugendensystem kümmert sich nicht darum, ob du viel zu viele Vektoren verwendest. Wenn du ein Erzeugendensystem hast, kannst du ja beliebig Vektoren dazunehmen und es bleibt dennoch ein Erzeugendensystem (wieso sollte die Eigenschaft auch verloren gehen). Wenn man jetzt verlangt, dass das Erzeugendensystem so wenige Vektoren wie möglich enthält, so spricht man vom minimalen Erzeugendensystem oder vom Begriff der (bzw. einer) Basis des Vektorraums.

Wenn du jetzt beliebige Vektoren aus einem Vektorraum nimmst und über diese den Aufspann bildest, so erhälst du i.A. einen Untervektorraum von V. Dass dir der Aufspann immer einen Vektorraum liefert lässt sich beweisen. Dieser UVR ist i.A. aber nicht gleich dem Vektorraum V selbst. Dafür musst du eben schauen, dass deine Vektoren wirklich den gesamten Raum aufspannen.

Edit: Den Begriff der Linearkombination kennst du ja hoffentlich. Augenzwinkern

Ansonsten habe ich versucht das Ganze mal möglichst anschaulich zu beschreiben und auf Symbole etc. zu verzichten.

air

25.08.2010, 13:56

klarsoweit

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RE: Verständnisproblem - Erzeugendensystem
Um noch auf ein paar Aussagen von Alex44 einzugehen:

Zitat:

Original von Alex44
Man schreibt das dann so: $\begin{eqnarray*} Span V = Span \{ v_1,v_2,...,v_n\} \end{eqnarray*}$

Vermutlich sollte das $\begin{eqnarray*} V = Span \{ v_1,v_2,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ heißen.
Das natürlich nur, wenn die Vektoren v_1, v_2, ..., v_n den Vektorraum V tatsächlich aufspannen.

Zitat:

Original von Alex44
Ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist das ein Auszug von Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} Span V \end{eqnarray*}$ , mit dem man alle anderen Vektoren im $\begin{eqnarray*} Span V \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von Skalaren darstellen kann???

Richtig heißt es: Ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ein Auszug von Vektoren aus V, mit dem man alle anderen Vektoren in V mit Hilfe von Linearkombinationen darstellen kann.

Zitat:

Original von Alex44
Diese kann man dann wieder zu einem Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zusammenfassen mit $\begin{eqnarray*} Span U = Span \{ v_1,v_2,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$

Total daneben. Man kann allenfalls sagen:
Bildet man für k <= n die Menge $\begin{eqnarray*} U = Span \{ v_1,v_2,...,v_k\} \end{eqnarray*}$ , so ist das ein Untervektorraum von V.

25.08.2010, 14:06

Alex44

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Danke ihr beiden.

Jetzt habe ich es auch verstanden. Warum kann das in den etlichen Büchern nicht auch so aufgeschrieben werden? Dann würde es doch jeder sofort verstehen...

Super Freude

*freu*

25.08.2010, 14:49

Alex44

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Das minimale EZS liegt dann vor, wenn ich den Nullvektor nur über das "Ausnullen" aller Vektoren erreichen kann.

Aber wie weise ich nun nach, dass ich alle Vektoren im Raum erreichen kann unglücklich

Ich kann doch nicht bis in alle Ewigkeit alles durchprobieren.

Mal ein Beispiel für eine Basis R3 aus einem Buch:
$\begin{eqnarray*} B= \left( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\2\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich da jetzt mit Gauß ranginge verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&3&|&a \\ 0&2&3&|&b \\ 0&0&3&|&c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&|&a-b \\ 0&2&0&|&b-c \\ 0&0&3&|& c \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&|&a-b \\ 0&1&0&|& \frac{1}{2} (b-c) \\ 0&0&1&|& \frac{1}{3} c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann steht jetzt links die Standardbasis und die rechte Seite zeigt mir dass zwischen Standardbasis und ursprünglicher Basis ein Zusammenhang besteht. Kann ich das als Beweis meiner Basis herannehmen?

25.08.2010, 14:55

Airblader

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Wieso verwendest du a,b,c ... wenn du doch weißt, dass es um den Nullvektor geht?

Für den Nachweis der Basis brauchst du die Eigenschaft, dass eine Basis nicht nur ein minmales EZS, sondern eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist.

Dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind, kannst du dann überprüfen, indem du zeigst, dass ihre Linearkombination nur dann den Nullvektor ergibt, wenn alle Skalare Null sind.
Bei dir ist also a=b=c=0. Nun hast du das LGS ja schon durchgerechnet (habs nicht überprüft) und wenn du das jetzt noch einsetzst, siehst du, dass alle Skalare gerade Null sind. Also sind die Vektoren l.u.

Bleibt noch, dass diese Menge maximal sein muss. Man könnte aus der Schule z.B. noch wissen, dass im IR^3 maximal drei Vektoren l.u. sein können. Augenzwinkern

Man kanns natürlich auch nochmal explizit nachprüfen.

air

25.08.2010, 15:23

Alex44

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Ok - ich versuche das mal an einen paar Beispielen zu üben Wink

Danke erstmal Gott

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