Alexandroff-Kompaktifizierung

25.08.2010, 14:56

Felix

Alexandroff-Kompaktifizierung

Sei $\begin{eqnarray*} (X,T) \end{eqnarray*}$ ein lokalkompakter Raum. Nun sei $\begin{eqnarray*} Y:= X \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \infty \notin X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_Y := T \cup \{ \{ \infty \} \cup X \setminus K: K kompakt \} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} T_Y \end{eqnarray*}$ soll nun eine Topologie auf Y sein. Allerdings kann ich nicht erkennen, warum $\begin{eqnarray*} T_Y \end{eqnarray*}$ abgeschlossen bezüglich Vereinigungen ist verwirrt

Konkret meine ich damit Mengen der Form $\begin{eqnarray*} O \cup (X \setminus K) \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} O \in T \end{eqnarray*}$ . Warum sollte es eine kompakte Menge K' mit $\begin{eqnarray*} X \setminus K' = O \cup (X \setminus K) \ \end{eqnarray*}$ geben ?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

lg

25.08.2010, 15:09

gonnabphd

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Hi,

Das liegt daran, dass das Komplement von $\begin{eqnarray*} O \cup X \setminus K \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ eine geschlossene Teilmenge der kompakten Menge K ist, wenn mich nicht alles täuscht.

Gruss. Wink

ps. Die doppelte Verwendung von O als offene Menge und als Kollektion von Mengen ist ein bisschen verwirrend.

25.08.2010, 15:40

Felix

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Zitat:

ps. Die doppelte Verwendung von O als offene Menge und als Kollektion von Mengen ist ein bisschen verwirrend.

Ist mir nicht aufgefallen entschuldige bitte. Werde es editieren.

Zitat:

Das liegt daran, dass das Komplement von ... eine geschlossene Teilmenge der kompakten Menge K ist, wenn mich nicht alles täuscht.

Warum sollte das denn gelten ? Sehe gerade, dass dich eventuell fehlende Klammersetzung irritieren könnte, werde auch das korregieren.

25.08.2010, 16:15

gonnabphd

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Ich glaube, ich hatte dich schon richtig verstanden. Ich versuch's nochmal ein bisschen ausführlicher.

Zitat:

Die Menge $\begin{eqnarray*} K' := X \setminus (O \cup (X \setminus K)) = (X\setminus O) \cap K \end{eqnarray*}$ ist doch eine abgeschlossene Teilmenge von der kompakten Menge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Und damit selbst wieder kompakt.

Folglich ist $\begin{eqnarray*} X \setminus K' = O \cup (X \setminus K) \end{eqnarray*}$ eine offene Menge in $\begin{eqnarray*} T_Y \end{eqnarray*}$

Gruss. Wink

25.08.2010, 16:48

Felix

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Ja du hast Recht. Bin mittlerweile auch über einen kleinen Umweg draufgekommen.

Danke dir für die Hilfe Freude

25.08.2010, 18:27

system-agent

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Da das Topologie ist, habe ich es *** verschoben *** .

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