diskrete Topologie

06.11.2006, 15:43

Ambrosius

diskrete Topologie

Wie kann ich zeigen, das die diskrete Topologie eine Vektorraumtopologie ist bzw. das widerlegen.

Wenn E der Vektoraum ist, so ist $\begin{eqnarray*} (E, \mathcal{P}(E)) \end{eqnarray*}$ ein top. VR, wenn E endlich ist.

Für endliches E kann ich doch immer eine offene Überdeckung finden, oder nicht?

aber wie zeige ich, das wenn E unendlich ist, es kein top. VR ist?

06.11.2006, 20:27

Abakus

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RE: diskrete Topologie
Was musst du denn konkret zeigen und wieso suchst du eine offene Überdeckung ?

Bzgl. der diskreten Topologie sind ja alle Mengen offen, was Stetigkeitsuntersuchungen erleichtert.

Grüße Abakus smile

06.11.2006, 20:31

Ambrosius

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Die frage ist, ob ein Vektorraum mit der diskreten Topolgie einen topologischen Vektorraum bildet.

Bei endlichen Mengen ist das ja der Fall. aber wie zeig ich das? Und wie zeig ich das es bei unendlichen Mengen nicht der Fall ist?

06.11.2006, 21:01

Abakus

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Zitat:

Original von Ambrosius
Die frage ist, ob ein Vektorraum mit der diskreten Topolgie einen topologischen Vektorraum bildet.

Ja, soweit hab ich die Aufgabe verstanden. Aber was ist dazu genau zu zeigen und was sind die genauen Voraussetzungen ? (ich frage das, damit wir von denselben Voraussetzungen ausgehen)

Zitat:

Bei endlichen Mengen ist das ja der Fall. aber wie zeig ich das? Und wie zeig ich das es bei unendlichen Mengen nicht der Fall ist?

Da bin ich nicht von überzeugt, dass es bei endlichen VR der Fall ist (außer wenn der VR der Nullvektorraum ist). Hast du zu diesem Punkt schon Überlegungen ?

Kritischer Punkt ist jedenfalls die Stetigkeit der skalaren Multiplikation.

Grüße Abakus smile

06.11.2006, 21:09

Ambrosius

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Voraussetzungen sind in der Aufgabe weiter nicht gemacht.

Das mit den endlichen Mengen: da dachte ich das der Prof das mal erwähnt hatte. Aber vermultich vertue ich mich dabei.

also ich gehe dann von einem beliebigen Vektorraum aus. Ich muss nun die Eigenschaften einer Vektorraumtopologie zeigen:

1. Hausdorff-Eigenschaft

Ist klar, da die diskrete Topolgie von einer Metrik induziert wird und jeder Metrische Raum Hausdorff ist.

2. die Stetigkeit der Addition und Skalarmultiplikation
Zunächst Addition:

Ich nehme zwei beliebige Punkte und y aus dem VR und eine Umgebung W von x+y und muss zeigen, dass es Umgebungen U von x und V von Y gibt mit U+V in W

Skalarmultiplikation:

Einen Punkt x aus dem Vr nehmen, ein bel. Skalar a aus dem Körper, eine Umgebung V von ax und zeigen das es eine Umgebung U von x und delta > 0 gibt mit $\begin{eqnarray*} \beta U \subseteq V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | \beta - a| < \delta \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun eher ob ich beim einfachen nachrechnen auch ein Ergebnis bekomme. Oder ob ich mir dabei nen Wolf rechne und irgendnen spezielenn Ansatz brauche.

Danke schon mal im Voraus

06.11.2006, 21:43

Abakus

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Zitat:

Original von Ambrosius
also ich gehe dann von einem beliebigen Vektorraum aus.

Ich gehe hier davon aus, dass du einen VR mit den reellen oder komplexen Zahlen als zugrundeliegenden Körper meinst.

Zitat:

Ich muss nun die Eigenschaften einer Vektorraumtopologie zeigen:

1. Hausdorff-Eigenschaft

Ist klar, da die diskrete Topolgie von einer Metrik induziert wird und jeder Metrische Raum Hausdorff ist.

Ja, ok.

Zitat:

2. die Stetigkeit der Addition und Skalarmultiplikation
Zunächst Addition:

Ich nehme zwei beliebige Punkte und y aus dem VR und eine Umgebung W von x+y und muss zeigen, dass es Umgebungen U von x und V von Y gibt mit U+V in W

Die Produkttopologie ist ebenfalls diskret, daher wird die Addition stetig sein.

Zitat:

Skalarmultiplikation:

Einen Punkt x aus dem Vr nehmen, ein bel. Skalar a aus dem Körper, eine Umgebung V von ax und zeigen das es eine Umgebung U von x und delta > 0 gibt mit $\begin{eqnarray*} \beta U \subseteq V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | \beta - a| < \delta \end{eqnarray*}$

Sie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verschieden vom Nullvektorraum (für diesen kannst du es zeigen!). Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} y \in X \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ , ferner ist $\begin{eqnarray*} \{y\} \end{eqnarray*}$ offen.

Die skalare Multiplikation bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte das Urbild von $\begin{eqnarray*} \{y\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} T := S^{-1}(\{y\}) = \{(a, x) : a \cdot x = y \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ müsste nun offen sein, was es aber nicht ist (betrachte dazu den Punkt $\begin{eqnarray*} (1, y) \end{eqnarray*}$ in der Produkttopologie).

Grüße Abakus smile

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