Kompakte Mengen / R^n

25.08.2010, 16:26

Keine-Ahnung

Kompakte Mengen / R^n

Hallo,

ich habe öfters den Begriff der Kompakten Menge gelesen. Leider weiß ich nicht warum diese so bedeutend ist (bzw. bin mir nicht 100% sicher).

Ich GLAUBE! das funktionenfolgen gleichmäßig auf kompakten mengen konvergieren
Ich GLAUBE! das man grenzwerte auf kompaktenmengen vertauschen darf

Sind diese zwei annahmen zutreffend???

dann meine zweite Frage: der R^n ist doch abgeschlossen. wenn ich mir eine Teilmenge die abgeschlossen ist rausnehme und die beschränkt ist, ist diese doch kompakt.

ich würde mich freuen wenn mir da jmd weiterhilft.

gruß

KA

25.08.2010, 16:59

Stefan03

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kompakte Mengen / R^n

Zitat:

Ich GLAUBE! das man grenzwerte auf kompaktenmengen vertauschen darf

Du meinst Integration und Limesbildung oder was?

Zitat:

dann meine zweite Frage: der R^n ist doch abgeschlossen. wenn ich mir eine Teilmenge die abgeschlossen ist rausnehme und die beschränkt ist, ist diese doch kompakt.

Beim Teil 2 stimme ich dir zu: Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn die abgschlossen und beschränlt ist (Heine-Borell)

25.08.2010, 18:10

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Das solltet ihr nochmal überdenken.

Zitat:

Original von Keine-Ahnung
Ich GLAUBE! das funktionenfolgen gleichmäßig auf kompakten mengen konvergieren

Klassisches Gegenbeispiel ist

$\begin{eqnarray*} f_n(x): [0,1] \rightarrow [0,1], \; f_n(x) := x^n \end{eqnarray*}$

diese Folge konvergiert punktweise, aber nicht gleichmässig.

Zitat:

Original von Keine-Ahnung
Ich GLAUBE! das man grenzwerte auf kompaktenmengen vertauschen darf

? Verstehe nicht, was du damit meinst. Vielleicht solltest du dir aber dieses Beispiel anschauen:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ wie oben, $\begin{eqnarray*} x_m := 1 - \frac 1m \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x_m) = 1 \ne 0 = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} f_n(x_m) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Keine-Ahnung
dann meine zweite Frage: der R^n ist doch abgeschlossen. wenn ich mir eine Teilmenge die abgeschlossen ist rausnehme und die beschränkt ist, ist diese doch kompakt.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, aber das ist nichts Spezielles. Auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q ^n \end{eqnarray*}$ ist (nicht als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ interpretiert) abgeschlossen.

Interessanter ist wohl, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ vollständig ist.

26.08.2010, 10:35

Keine-Ahnung

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt das was ich über den ersten teil geschrieben habe stimmt so nicht. Mist ! genau da war ich mir nicht sicher.

Aber warum sind diese kompakten Mengen dann so wichtig?

gruß

KA.

26.08.2010, 10:39

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Kompaktheit gerade im Hinblick auf stetige Funktionen gute Eigenschaften der Funktionen liefert. Siehe zb hier unter "Eigenschaften" und lies dir auch noch "Beweggrund für die Kompaktheit" durch.

27.08.2010, 09:57

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kompakte Mengen / R^n

Zitat:

Original von StefanB
Beim Teil 2 stimme ich dir zu: Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn die abgschlossen und beschränlt ist (Heine-Borell)

Das ist falsch. Im R^n mit der Standardmetrik mag das vielleicht so sein, aber im Allgemeinen folgt nur aus Kompaktheit Abgeschlossen- und Beschränktheit, nicht aber die Umkehrung.

Neue Frage »

Antworten »

Kompakte Mengen / R^n

Verwandte Themen