Eigenwert einer linearen Abbildung

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25.08.2010, 18:13	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert einer linearen Abbildung Hi Leute, brauche nen kurzen Denkanstoß! Behandeln zur Zeit Eigenvektoren/Eigenwerte, an sich sehr einfacher Stoff. Haben nun aber eine Aufgabe bekommen, die verkehrt rum verläuft. Gegeben sei eine Lineare Abbildung L : R<=2 [x] --> R<=2 [x] mit den Eigenwerten lamda1 = 1, lamda 2 = 2, lamda 3 = 3 und zugehörigen Eigenvektoren p1 = 1+x , p2 = 1-x und p3 = x²+2. Wir sollen nun die Lineare Abbildung bestimmen und ich steh da gerade voll auf dem Schlauch wie ich das ganze angehen soll. MfG
25.08.2010, 19:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Weg. Betrachte p1, p2 und p3 mal als Basis. Deren Bilder kennst du. Bzgl. Dieser Basis kannst du sehr leicht eine Abbidugnsmatrix aufstellen. nun musst du "nur" noch in eine Matrix bzgl. der Monombasis umrechnen. [Artikel] Basiswechsel
25.08.2010, 19:58	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bilder von p1,p2,p3 erhalte ich ja über L(p1) = lamdap1 L(p2) = lamdap2 L(p3) = lamda*p3 richtig ? Dann wäre die Abbildungsmatrix zu der Basis {p1,p2,p3} erst einmal 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ? Oder versteh ich da was falsch
25.08.2010, 20:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
genau.
25.08.2010, 20:25	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, aber das mit dem Basiswechsel kommt mir iwie fremd vor. Anders kann man das nicht bestimmen ?
25.08.2010, 20:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hattet ihr denn noch keinen Basiswechsel? Die Ideen, wie du es von Hand ausrechnest stecken da drin. Du suchst ja die Bilder der Standardbasis.
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25.08.2010, 20:39	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
doch aber hab das noch nicht ganz so vergegenwärtigt ^^ hatten das im R2, bzw. R3 da fällt mir das iwie leichter als im Raum der Polynome
25.08.2010, 20:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib doch mal die Koordinaten bzgl Monombasis auf, anstatt die Polynome
25.08.2010, 21:02	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
DIe Koordinaten wovon jetzt ?
25.08.2010, 21:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
p1, p2 und p3
25.08.2010, 21:11	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Bzgl der Monombasis {1,x,x²} wäre das dann p1 = 1b1 + 1b2 + 0b3 p2 = 1b1 - 1b2 + 0b3 p3 = 2b1 + 0b2 + 1*b3
25.08.2010, 21:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Alsdo kannst du doch auch schön Koordinatenvektoren schreiben, deren Bilder du kennst und dann Basiswechseln Von Hand, wie kombinierst du die Monombasis aus p1, p2, p3.
25.08.2010, 21:24	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
na als Linearkombination ?! versteh nich so recht was du meinst
25.08.2010, 21:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, als LK. Dann kannst du die Bilder ebenso linear kombinieren und hast die Bilder der Monombasis
25.08.2010, 21:39	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochma nen Schritt zurück p1 = (1,1,0) bildet ab auf (1,1,0) p2 = (1,-1,0) bildet ab auf (2,-2,0) p3 = (2,0,1) bildet ab auf (6,0,3) Und jetzt wie weiter machen ?
25.08.2010, 21:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist doch, auf was wird (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) abgebildet. Dazu stelle sie als LK von (1,1,0), (1,-1,0) und (2,0,1) dar. Was erhältst du?
25.08.2010, 21:44	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah das hatte ich auch schon versucht aber das ist nicht möglich, bspw. lässt sich (1,0,0) nicht als LK von (1,1,0), (1,-1,0) und (2,0,1) darstellen.
25.08.2010, 21:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun denke nochmal nach, warum diese Behauptung gar nicht stimmen kann.
25.08.2010, 21:51	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
ICh wusste dass sowas kommt aber ich komm iwie nicht drauf
25.08.2010, 22:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vektoren bilden eine Basis.....
25.08.2010, 22:10	frik	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon aber was sagt mir das über meine Lineare Abbildung ?
25.08.2010, 22:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach Mensch. Dass du eben (1,0,0) auch als k darstellen kannst, was du verneint hast.

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