Ableitung von ln(x) über die Umkehrfunktion

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Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von ln(x) über die Umkehrfunktion
Edit (mY+): Thementitel der Frage angepasst.

Hallo,
kann mir einer erklären wie der natürliche logarithmus Definiert ist? Bräuchte das für meine Seminararbiet.
Er soll ja irgendwie mithilfe der Umkehrfunktion der e-Funktion zu erklären sein.
Aber mir fehlt der Richtige durchblick und ich find im Internet leider nichts hilfreiches.



dann leite ich ab


Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:

jetz setz ich für y von oben des ln(x) ein


so jetz hab ich dazu mehrere fragen xD (Sry wenn ich aufn Schlauch stehe und es einfach nicht check)
Wo ist hier die Umkehrfunktion?
Warum zeigt mir das das die Stammfunktion von 1/x der ln(x) ist? Also was hat des obere y=ln(x) mit dem unterem x'=1/x zu tun?

Vielen Dank schonmal im Vorraus
mfg Aisbair
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition natürlicher logarithmus
Zitat:
Original von Aisbaer
Hallo,
kann mir einer erklären wie der natürliche logarithmus Definiert ist? Bräuchte das für meine Seminararbiet.
Er soll ja irgendwie mithilfe der Umkehrfunktion der e-Funktion zu erklären sein.


Ja, so kann man den Logarithmus definieren, aber:

Zitat:
Original von Aisbaer
Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:


Du hast ja noch gar nicht gezeigt, dass die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion existiert, also bringt dir dieser Zusammenhang erstmal nichts.

Zur Existenz der Umkehrfunktion solltest du zeigen, dass die Exponentionalfunktion bijektiv ist.
Buef Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition natürlicher logarithmus
Zitat:
Original von Iorek
[quote]Original von Aisbaer
...

Zur Existenz der Umkehrfunktion solltest du zeigen, dass die Exponentionalfunktion bijektiv ist.


Das weisst du aber, da exp streng monoton ist. Steht irgendwo in deinem Mathebuch. Demnach ist exp auch bijektiv!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da gehört aber noch einiges mehr als die strenge Monotonie dazu geschockt
Buef Auf diesen Beitrag antworten »

achja. und
das wars, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum darfst du bilden, ist die Exponentialfunktion stetig, ist sie injektiv, ist sie surjektiv...viele Fragen die es zu klären gilt.
 
 
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

von bijektiv, injektiv und surjektiv hab ich noch nie was gehört....

aber meinst du das ich sagen muss:

y=ln(x) dann umkehrfunktion
x=ln(Y)
e^x=Y

großes Y weil es ja nicht des selbe ist wie des kleine y...
Hast du das gemeint?

Könntet ihr auch nochmal kurz auf die Fragen in meinem Ausgangspost eingehen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst in deiner Seminararbeit die Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion herleiten, hast aber noch nie von injektiv/surjektiv gehört? geschockt

Was für eine Seminararbeit ist das denn, was für Vorwissen hast du?
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Thema ist Integration von gebrochen rationalen Funktionen und ich soll hald zeigen, dass die Stammfunktion von 1/x der ln(x) ist.
Meine Vorwissen ist die 12. Klasse BOS und brauche für die 13. Klasse eben diese Seminararbeit.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aisbaer
soll hald zeigen, dass die Stammfunktion von 1/x der ln(x) ist.


Das ist aber doch eine ganz andere Aufgabe, als du am Anfang gestellt hast unglücklich

Zitat:
Original von Aisbaer
kann mir einer erklären wie der natürliche logarithmus Definiert ist?


Das heißt also, du weißt bereits, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist und musst dir das nicht erst herleiten?
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

Er hat mir die Information gegeben das ich zeigen soll dass die Stammfunktion von 1/x der ln(x) und ich soll das irgendwie über die Umkehrfunktion der e-Funktion machen.
Wie in meinem Anfangspost beschrieben.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Daher habe ich nunmehr den Titel des Threads der tatsächlichen Thematik angepasst.

mY+

Hinweis: Es hat etwas mit dem Kehrwert der Ableitung der Umkehrfunktion zu tun ... (das kannst du auch leicht zeigen).
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hast du ja schon im Anfangspost bewiesen, dass ln(x) das Integral von 1/x ist. Den Beweis kann man von zwei Seiten angehen. Entweder über das Integrieren oder über das Ableiten.

Ein Beispiel:
Wenn du beweisen sollst, dass x^2 das Integral von 2x ist, kannst du entweder mit den Integrationsregeln argumentieren, oder eben mit den Regeln der Differentialrechnung. Wenn man x^2 ableitet ergibt sich 2x, wenn man 2x aufleitet ergibt sich x^2. Zweimal der gleiche Beweis, nur von einer jeweils anderen Sichtweise.

Ebenso kannst du mühselig mit den Regeln der Integralrechnung beweisen, dass ln(x) das Integral von 1/x ist, oder eben einfacher mit der Umkehrfunktion und der Differentialrechnung. Die Umkehrfunktion ist hier , die hast du ja auch im Anfangspost berechnet. Um ln(x) abzuleiten, hast du einfach nur die Umkehrregel benutzt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Zusammengefasst: Du willst durch Ableiten von ln(x) zeigen, dass ln(x) die Stammfunktion von 1/x ist. Dafür muss die Ableitung von ln(x) gleich 1/x sein. Zum Ableiten verwendest du die Umkehrfunktion von ln(x), nämlich . Wenn dann die Ableitung von ln(x) = 1/x ist, hast du den Beweis erbracht Wink
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von ln(x) über die Umkehrfunktion
@Aisbaer
Gemäss Definition gilt:

Leite nach x ab (mit Kettenregel und Kenntnis der Ableitung von

Also:. Und somit
Aisbaer Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank :-)
aber was hab ich dann in meinem ausgangspost gezeigt?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dort schon das Symbol x' nicht verstanden.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da meine Frage genau die hier besprochene Aufgabe betrifft, erlaube ich mir den Thread zu "bumpen":

Die Differentiation der Umkehrfunktion verstehe ich so halbwegs.

Unklar ist mir nur im gegebenen Fall, wieso diese anwendbar ist?

Buef hat geschrieben, da die Funktion streng monoton ist. Iorek, dass da noch mehrere Kriterien eine Rolle spielen.

Könnte mir das jmd. kurz erklären? Wieso die Ableitung von ln(x) über die Umkehrfunktion anwendbar ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit du den Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion anwenden kannst, musst du erstmal nachweisen, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Dazu reicht die strenge Monotonie nicht aus. Außerdem muss noch gezeigt werden, dass die Logarithmusfunktion stetig ist, dass sie differezierbar ist...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die LN-Funktion via Exponentialfunktion abzuleiten, ist natürlich nur sinnvoll, wenn man die Ableitung eben dieser Exponentialfunktion schon kennt.

Es ginge genau so gut umgekehrt: Mit der Ableitung des LN kann man via Umkehrfunktion die Ableitung der Exponentialfunktion herleiten (es wäre sogar denkbar, dass es historisch so war: Das Integral von 1/x mangelt einem schon lange bevor man Exponential- und Logarithmus-Funktionen erfinden sollte).
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