Erwartungswerte, Varianz bei Normalverteilung berechnen

26.08.2010, 13:23

Buef

Erwartungswerte, Varianz bei Normalverteilung berechnen

Edit (mY+): Nach bald 300 Beiträgen solltest du schon in der Lage sein, eine dem Thema entsprechende Überschrift auszuwählen. "Frage zur Lösung" ist da gänzlich ungeeignet. Und überdies: Es heisst immer noch Standard.

Die Körpergröße von Kindern einer Altersstufe ist normalverteilt. Aufgrund von umfangreichen Stichproben weiß man zum Beispiel, dass bei Vierjährigen 3% kleiner als 96cm und 3% gräßer als 11cm sind. Bei den Vorsorgeuntersuchen von Kindern wird geprüft, ob die Körpergröße des untersuchten Kindes auffällig groß oder klein ist, d.h. ob sie zu den 3% der oberen bzw unteren Ende der Verteilung gehört.

Berechne den Erwartungswert und die Standartabweichung

Lösung:

1) Wegen der Symetrie der Normalverteilung liegt der Erwartungswert bei 103,5 cm.
Weiter gilt $\begin{eqnarray*} P(95,5 \leq X \leq 103,5)=P(103,5 \leq X < 111,5) = 47% \end{eqnarray*}$

Nun meine Unklarheit: Gemäß der Tabelle der Gausschen Dichtefunktion entspricht dann die Differenz von 8cm zum Erwartungswert einen Radius von 1,88 Standartabwichungen, denn
$\begin{eqnarray*} \Phi(1,88)=0,97 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi(-1,88)=0,3) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Phi(1,88)-\phi(-1,88)=0,94 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} 1,88 \sigma =8cm \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma=4,26cm \end{eqnarray*}$

Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann schaut man in dieser Tabelle
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung
wann 0,97 erreicht ist. Das ist bei 1,88. Wie kann man die 1,88 als Wort bezeichen und warum muss $\begin{eqnarray*} 1,88 \sigma = 8cm \end{eqnarray*}$ rechnen?

26.08.2010, 16:14

BarneyG.

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Hallo,

also aus deiner Rechnung entnehme ich dass es wohl

Zitat:

und 3% größer als 111cm sind.

lauten soll.

Den Erwartungswert µ = (96 + 111)/2 = 103,5 hast du vollkommen richtig berechnet. Bleibt noch sigma ...

Wir wissen

P(96 <= X <= 111) = 0,94

Das transformieren wir mit Stetigkeitskorrektur auf die Standard-Normalverteilung durch z = (x - µ +-0,5) / sigma

PHI(8/sigma) - PHI(-8/sigma) = 0,94

Mit PHI(-z) = 1 - PHI(z) erhalten wir

2 * PHI(8/sigma) - 1 = 0,94

PHI(8/sigma) = 0,97 = PHI(1,88) <-- nach Tafelwerk

Wegen der Stetigkeit und Monotonie der PHI Funktion liefert das

8/sigma = 1,88

Und das wolltest du wissen ... Big Laugh

Grüße

27.08.2010, 01:50

mYthos

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mY+

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