Komplexe Zahlen - Verschiedene Darstellungsformen

26.08.2010, 20:15

Lyo

Komplexe Zahlen - Verschiedene Darstellungsformen

Aufgabe: Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z.

$\begin{eqnarray*} z = 64*(sin^2\phi+i\sqrt{3}+cos^2\phi)^{-6} \end{eqnarray*}$

Mich irritieren hier zwei Punkte:
1.Normalerweise lautet die Polarform z = r*(cos phi + i*sin phi), hier ist aber die Form z = r*(cos phi + y*i + sin phi)
2. Wie bekomme ich die Hoch minus 6 am besten weg bzw. so umgeformt, dass ich sie ignorieren kann?

Mit trig. Pythagoras bekomme ich es auf
$\begin{eqnarray*} z=64*(1+i*\sqrt{3})^{-6} \end{eqnarray*}$

Und nu? Ich muss die Zahl ja irgendwie in die Form z =x+i*y bringen, dazu brauche ich n phi. um die Formeln (x=r*cos phi; y=r*sin phi)) benutzen zu können, aber \sqrt{3} ist kein Winkel...

26.08.2010, 20:59

corvus

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RE: Komplexe Zahlen - Verschiedene Darstellungsformen

Zitat:

Original von Lyo
Aufgabe: Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z.

Mit trig. Pythagoras bekomme ich es auf

$\begin{eqnarray*} z=64*(1+i*\sqrt{3})^{-6} \end{eqnarray*}$
.......................................................... Freude

Und nu? Ich muss die Zahl ja irgendwie in die Form z =x+i*y bringen,
................. aber \sqrt{3} ist kein Winkel.. unglücklich

sollte ja da auch gar kein Winkel stehen, sondern der Sinuswert eines Winkels verwirrt

aber vielleicht hilft dir ja schon dieser Tipp etwas weiter ? ->
$\begin{eqnarray*} 1+i*\sqrt{3} = 2 \cdot \left[\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \right] \end{eqnarray*}$

Und nu?

26.08.2010, 21:51

Lyo

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Naja, also so umformuliert, kriege ich für phi pi/3 raus. (nochmal mit der ausgeklammerten 2 multiplizieren oder ist das jetzt schon mein "richtiges" phi?)
Ich weiß aber immernoch nicht, wie ich das Problem mit der -6 im Exponenten gelöst bekomme verwirrt

Achja, und ich kann einfach ignorieren, dass hier z = r(cos + i + sin) steht, statt z = r(cos + i*sin) steht und ganz normal rechnen, oder?

26.08.2010, 22:03

corvus

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.
$\begin{eqnarray*} 1+i*\sqrt{3} = 2 \cdot \left[\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} \right] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lyo
Naja, also so umformuliert, kriege ich für phi pi/3 raus.
nochmal mit der ausgeklammerten 2 multiplizieren nein das 2 ist der Betrag und pi/3 ist das Argument

Ich weiß aber immernoch nicht, wie ich das Problem mit der -6 im Exponenten gelöst
bekomme .. verwirrt

.. Regeln des Potenzrechnens (notfall wieder erfinden)

Achja, und ich kann einfach ignorieren,
dass hier z = r(cos + i + sin) steht, geschockt

steht doch nirgends?

Achja, , was gibt eigentlich 64 * 2^(-6) = verwirrt

27.08.2010, 18:08

Lyo

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Ok, bis hierhin komme ich noch mit:

$\begin{eqnarray*} z = 64*(sin^2\phi+i*\sqrt{3}+cos^2\phi)^{-6} = 64*(1+\sqrt{3})^{-6} = 64*[2*(1/2+i*\sqrt{3}/2)]^{-6} r = 2 \phi = \pi/3 \end{eqnarray*}$

Aber warum steht bei dir in der letzten Zeile nur noch 64*2^-6? Wo ist "der Rest hin"?

Hab zur Darstellung in der Gaußebene noch ein paar andere Aufgaben, weiß aber nicht, ob es stimmt:
Gesucht: Für welche Punkte z = x+iy der Gaußschen Zahlenebene gilt:
a)
|arg(z)| < pi/2 ----> alle Punkte im I. und IV. Quadranten

b)
0< \sqrt{2} Im(z) < |z|
--> 0< \sqrt{2}y < \sqrt{x²+y²}
-->0 < 4y^4 < x²+y²
--> 0 < y < x/\sqrt{3}
--> ??? Kann mir damit noch nichts vorstellen

c)
|z + 4i - 3| = 3
--> (x-3)² + (y-4)² = 9
--> Alle Punkte auf dem Kreis mit M(3;4) und r=3

d)
|z + 2 - i| >= 2
--> (x+2)² + (y-1)² >= 4
--> Alle Punkte auf bzw. außerhalb des Kreises mit M(-2;1) und r=2

f)
|z + 1| <= |z - 1|
--> (x+1)² + y² <= (x-1)² + y²
--> sind zwei Mittelpunkte, aber kein Radius? verwirrt

j)
|z| + Re(z) = 1
--> x² + y² + x² = 1
--> 2x² + y² = 1
--> Alle Punkte auf Ellipse (doppelt so breit wie hoch, oder?)

----------------------

Radizieren:

$\begin{eqnarray*} z^4 = -1 n = 4 k = 0,1,2,3 z1 = \sqrt{2}/2 + \sqrt{2}/2*i z2 = -\sqrt{2}/2 + \sqrt{2}/2*i z3 = -\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2*i z4 = \sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2*i \end{eqnarray*}$

Stimmts?

28.08.2010, 00:25

corvus

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Zitat:

Original von Lyo
Ok, bis hierhin komme ich noch mit:

$\begin{eqnarray*} z = 64*(sin^2\phi+i*\sqrt{3}+cos^2\phi)^{-6} = 64*(1+\sqrt{3})^{-6} = 64*[2*(1/2+i*\sqrt{3}/2)]^{-6} r = 2 \phi = \pi/3 \end{eqnarray*}$
also: das ist nicht derselbe Winkel wie zu Beginn (oben in der Klammer)..
dh du müsstest einen anderen Namen wählen
und: r=2 ist nicht der Betrag von z

Aber warum steht bei dir in der letzten Zeile nur noch 64*2^-6? Wo ist "der Rest hin"?
in der letzten Zeile habe ich nur als Beispiel die Rechnung für den Betrag notiert

Du hast diese erste Aufgabe noch nicht fertig gelöst geschockt

$\begin{eqnarray*} z = 64*(1+\sqrt{3})^{-6} = 64*[2*(1/2+i*\sqrt{3}/2)]^{-6} = 64\cdot 2^{-6} \cdot \left(cos(\frac{\pi }{3}) + i\cdot sin(\frac{\pi }{3}) \right) ^{-6} = ? \end{eqnarray*}$

also: mach erst mal diese Aufgabe soweit fertig, bis du 1 hast

und dannkannman die weiteren Aufgaben vielleicht noch anschauen.. smile

deren angebotene Lösungen ja fast alle echt keine Glückstreffer sind ..
.

28.08.2010, 13:03

Lyo

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Ich glaub, jetzt hab ich, was du mir versuchst zu sagen^^

$\begin{eqnarray*} z = 64*2^{-6}*(cos{\pi/3}+i*sin{\pi/3}) = 1*(1/2+i*\sqrt{3}/2) Re(z)=1/2 Im(z)=\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$

____________________

Bei den anderen Aufgaben verstehe ich nicht, was daran so falsch ist. Vielleicht, wie ich dazu gekommen bin:
a) |arg(z)|<pi/2
Das Argument von z ist phi, welches kleiner sein soll als pi/2. pi/2 entspricht 90° und da man den Winkel von der x-Achse her aufträgt und hier vom Betrag die Rede ist, betrifft das die beiden Quadraten ober- und unterhalb der x-Achse, rechts der y-Achse.

b)
|z| = \sqrt{x²+y²}
Im(z) = y
Wenn ich das in die Gleichung einsetze, komme ich zu dem, was ich schrieb

c) - f)
Wir hatten das glaube so, dass man für z x+yi einsetzt, dann so weit wie möglich verkürzt und den Betrag bildet:
|z + 4i - 3| = 3
--> |x + iy + 4i - 3| = 3
--> |(x-3) + (y+4)i| = 3
--> (x-3)² + (y+4)² = 9
Macht M(3;-4) und r=9

verwirrt

28.08.2010, 13:45

corvus

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Zitat:

Original von Lyo
Ich glaub, jetzt hab ich, was du mir versuchst zu sagen^^

$\begin{eqnarray*} z = 64*2^{-6}*(cos{\pi/3}+i*sin{\pi/3}) \end{eqnarray*}$ geschockt

$\begin{eqnarray*} = 1*(1/2+i*\sqrt{3}/2) Re(z)=1/2 Im(z)=\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$ unglücklich

nein, du hast doch da vergessen, dass auch die Klammer die Hochzahl (-6) hat
um den richtigen Winkel zu bekommen, ist auch dies dann erst noch zu ermitteln.

Augenzwinkern

also bleib am Ball und mach erst mal diese erste Aufgabe richtig :

$\begin{eqnarray*} z = 64\cdot 2^{-6} \cdot \left(cos(\frac{\pi }{3}) + i\cdot sin(\frac{\pi }{3}) \right) ^{-6} = ? \end{eqnarray*}$

28.08.2010, 14:17

corvus

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.
.. und dann halt doch schon mal kurz beispielhaft zu einer
Aufgabe, deren Lösung immerhin schon relativ nahe
bei einem "Treffer" liegt ..:

Zitat:

Original von Lyo

Bei den anderen Aufgaben verstehe ich nicht, was daran so falsch ist.
c)
Wir hatten das glaube so, dass man für z x+yi einsetzt,
dann so weit wie möglich verkürzt und den Betrag bildet:
(ist durchaus auch so machbar .. aber bitte dann richtig !)
|z + 4i - 3| = 3
--> |x + iy + 4i - 3| = 3
--> |(x-3) + (y+4)i| = 3
--> (x-3)² + (y+4)² = 9
Macht M(3;-4) und r=9
verwirrt

und nun vergleiche mit deiner oben zu Beginn notierten (auch fehlerhaften) "Lösung":

Zitat:

Original von Lyo
c)
|z + 4i - 3| = 3
--> (x-3)² + (y-4)² = 9
--> Alle Punkte auf dem Kreis mit M(3;4) und r=3

es wäre vielleicht eine gute Idee, sorgfältiger zu arbeiten Wink

und noch eine Anmerkung zu der Lösungsmöglichkeit:
Beträge kannst du als Abstände lesen:
|z-a| ist lesbar als Abstand der variablen Punkte z vom festen Punkt a
und |z-m|=r meint alle Punkte z, die vom festen Punkt m die Entfernung r haben
sieht doch dann ohne weitere Rechnung schon wie ein schöner Kreis aus? smile

28.08.2010, 14:22

Lyo

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Och manno^^

Ok, dann halt nocheinmal:

z= 64*2^-6*(cos pi/3 + i*sin pi/3)^-6
= 1* (1/2+i*\sqrt{3}/2)^-6
= 1* 1
=1
Also ist der Realteil 1 und der Imaginärteil 0.

28.08.2010, 16:41

corvus

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Zitat:

Original von Lyo
Och manno^^

=1
Also ist der Realteil 1 und der Imaginärteil 0. Freude

Prima passend zu deinem Titel: Komplexe Zahlen - Verschiedene Darstellungsformen
hast du eine etwas andere Art, die natürliche Zahl 1 darzustellen, herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} 1 = 64*(1+i*\sqrt{3})^{-6} . \end{eqnarray*}$ smile

nun denn: ..zu c) steht ja oben schon was,
jetzt also weiter, zB mit f) ...

Zitat:

Original von Lyo
f)
|z + 1| <= |z - 1|
--> (x+1)² + y² <= (x-1)² + y²
--> sind zwei Mittelpunkte, aber kein Radius?

entweder :
wo liegen alle Punkte z , die vom Punkt (1/0) gleich weit und weiter entfernt
sind als vom Punkt (-1/0) ? -> ....

oder :
vereinfache doch deine Ungleichung (x+1)² + y² <= (x-1)² + y² so weit wie möglich
und interpretiere das Ergebnis richtig. -> ...

und wenn du das dann alles erledigt hast, kannst du damit beginnen,
darüber nachzudenken, warum
|z| + Re(z) = 1
nicht daran denkt, zu einer Ellipse zu werden ..
.

01.09.2010, 13:43

Lyo

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Sorry, dass ich mich länger nicht gezuckt habe, musste n paar Überstunden machen.

(x+1)² + y² <= (x-1)² + y²
--> x <= 0
--> II. und III. Quadrant (o.0)?

|z| + Re(z) = 1
--> \sqrt{x²+y²} + x = 1
--> 2x² + y² = 1
y² = 1-2x² bzw. x² = 1-y²/2
Soweit so gut. Mein _TR_ zeigt mir jetzt, dass das eine liegende, nach links geöffnete Parabel ist. Aber wie sehe _ich_ das? In meiner Formelsammlung steht dafür als allgemeine Gleichung: y² = 2px, ich hab ja hier aber zwei quadratische Variablen...

01.09.2010, 23:06

corvus

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Zitat:

Original von Lyo

|z| + Re(z) = 1
--> \sqrt{x²+y²} + x = 1 Freude

--> 2x² + y² = 1 geschockt

Soweit so gut. unglücklich

<- wie quadrierst du ein Binom?

schreibe aber (für den nächsten Versuch)
\sqrt{x²+y²} + x = 1 zuerst so : \sqrt{x²+y²} = 1 - x
und quadriere nun beide Seiten .. usw..

und ?

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