Eine Aufgabe zum Einstieg in die Kombinatorik

27.08.2010, 07:54

karohemd

Eine Aufgabe zum Einstieg in die Kombinatorik

Hallo zusammen,

ich versuche es mal mit meiner Frage in diesem Forum.

Aufgabe: Aus einem Regal mit n Paar Schuhen werden zufällig k einzelne Schuhe genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist wenigstens ein Paar unter den gezogenen Schuhen?

Mein Ansatz:

für $\begin{eqnarray*} k > \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ ist die Wahrschheinlichkeit = 1

für $\begin{eqnarray*} k <= \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ :
Ich darf ja jedes Schuhfach nur einmal benutzen. Also sind die Anzahl der Möglichkeiten, um verschiedene Schuhe zu ziehen beim ersten Zug gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}-1 \end{eqnarray*}$ bis zu $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} - k + 1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n}{2}!}{(\frac{n}{2} - k)!} \end{eqnarray*}$ , wobei die Reihenfolge der gezogenen Schuhe keine Rolle spielen soll. Somit muß ich noch durch die Anzahl der Möglichen Permutationen teilen.

Also ist doch die in der Aufgabe gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{\frac{n}{2}!}{(\frac{n}{2} - k)! * k!} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

27.08.2010, 09:02

Mystic

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RE: Eine Aufgabe zum Einstieg in die Kombinatorik
Sorry, aber auch wenn "aller Anfang schwer ist", deine "Lösung" strotzt nur so von Ungereimtheiten... Das beginnt schon damit, dass für dich im Fall k > n/2 die Wahrscheinlichkeit 1 sein soll, zwei Schuhe von demselben Paar herauszugreifen, was blanker Unsinn ist...

Nehmen wir z.B. n=2, also 2 Paar Schuhe... Sei dann $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ jeweils der linke und $\begin{eqnarray*} B_k \end{eqnarray*}$ jeweils der rechte Schuh für k=1,2. Wenn ich dann von den 4 Schuhen $\begin{eqnarray*} A_1,B_1,A_2,B_2 \end{eqnarray*}$ k=2 herausgreife, muss durchaus kein Paar darunter sein, denn es könnten ja z.B. $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ sein...

Ich vermute mal, dass du einfach vergessen hast, dass 1 Paar Schuhe ja immer aus 2 Schuhen besteht und dies in deiner Zählung nicht berücksichtigt hast... Überhaupt ist diese ganze Fallunterschung, auch wenn sie richtig angelegt wäre, so "überflüssig wie ein Kropf", wie man in manchen ländlichen Gegenden Österreichs zu sagen pflegt..

Dann kommt bei dir irgendwann die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac {(n/2)!}{(n/2-k)!k!} \end{eqnarray*}$

vor, k verschiedene Schuhe herauszugreifen, was dann für gerades n identisch mit dem Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n/2}k \end{eqnarray*}$ wäre, d.h., einem Wert, der fast stets > 1 ist... Seit wann können Wahrscheinlichkeiten > 1 sein? geschockt

20.05.2015, 16:14

Chr1slyB3AR

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RE: Eine Aufgabe zum Einstieg in die Kombinatorik
Also dein Beitrag ist ja echt unglaublich hilfreich!!!

Und dass P(A) für ein k >= n/2 gleich 1 ist macht nur Sinn!

20.05.2015, 16:30

HAL 9000

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= mit > verwechselt?
Hast du bestimmte Gründe, einen knapp 5 Jahre alten Thread in reichlich nebulöser Weise zu kommentieren? Die Tatsache, dass es hier Konstellationen mit Wahrscheinlichkeit =1 spricht doch in keinster Weise gegen die richtige Anmerkung von Mystic, dass Wahrscheinlichkeiten >1 nicht möglich sind.

Zitat:

Original von Chr1slyB3AR
Und dass P(A) für ein k >= n/2 gleich 1 ist macht nur Sinn!

Und so ist es übrigens falsch. Richtig wäre

$\begin{align*} P(A)=1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k>n \end{align*}$

(denn n gibt nicht die Schuhzahl, sondern die Paarzahl an).

Ergänzend gilt $\begin{align*} P(A) = 1- \frac{2^k \binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq k\leq n \end{align*}$ . Dann können wir den Thread auch wieder in Frieden ruhen lassen. Big Laugh

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