Gleichung mit komplexen Zahlen lösen

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mrburns Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit komplexen Zahlen lösen
Hallo, ich habe echt schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen.
Weiterhin ist bekannt dass Z=1-5i eine Lösung ist.
i soll der Imaginäranteil sein, Kenner wissen was gemeint ist.

Normalerweise würde man jetzt eine Polynomdivision durchführen durch Dabei komme ich zu keinem Ergebnis, weil immer ein Rest übrig bleibt.

Der fundamentale Satz der Algebra besagt dass eine Gleichung dritten Grades auch 3 Lösungen haben kann. Eine Lösung ist bereits gegeben, fehlen noch zwei.
Das heißt es gilt:


Linke seite ausklammern:

Rechte Seite ausklammern:

Sofern ich bisher keinen Fehler gemacht habe, geht es weiter mit dem Koefizientenvergleich auf beiden Seiten. Daraus ergeben sich die 3 Gleichungssysteme.

I:
II:
III:

Mein ANsatz ab hier ist: Aus GL I ergibt sich -> in III einsetzen

Nun nehme ich an dass ich die komplexen und reelen Teile trennen soll ->



Und beides sieht nicht gerade vielversprechend aus.Es kommen komische Zahlen raus. Irgendwo muss es einen Haken geben, den ich nicht sehe. Hänge jetzt seit ca 4 Tagen an der Aufgabe und komme nicht weiter.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze u = z + 4i und löse zunächst nach u. Eine der drei Lösungen für u lautet u1 = -1.

mY+
mrburns Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich:

Wenn u=-1 eine Lösung ist bleibt ein Rest von
Weitere Lösungen sind demnach
Resubstitution:



Hat wunderbar funktioniert Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. und so einfach.

Natürlich kannst du auch von der bereits angegebenen Lösung ausgehen: 1 - 5i
Dann ist eben

u1 = z + 4i = 1 - i

und du beginnst mit dieser Lösung.

mY+
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