Verschoben! Nicht äquivalente Kongruenzen

27.08.2010, 18:12

lirumlarum

Nicht äquivalente Kongruenzen

Warum sind die Kongruenzen

4x==4mod 8 und x==1 mod 8 nicht äquivalent?

Schließlich kommt doch für x in beiden Fällen x=1 heraus.

Hat es damit was zu tun dass 4 in mod 8: 4=0*8+4
und
1 in mod 8: 1=0*8+1 ist?

27.08.2010, 19:20

Huggy

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RE: Nicht äquivalente Kongruenzen
Die Kongruenzen sind nicht äquivalent, weil sie unterschiedliche Lösungsmengen haben. Die Kongruenz

$\begin{eqnarray*} x \equiv 1 \mod 8 \end{eqnarray*}$

hat die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} x=8n+1 \end{eqnarray*}$ mit n ganzzahlig.

Die Kongruenz

$\begin{eqnarray*} 4x \equiv 4 \mod 8 \end{eqnarray*}$

hat eine viel größere Lösungsmenge, nämlich

$\begin{eqnarray*} x=8n+k \end{eqnarray*}$ mit n ganzzahlig und k = 1, 3, 5, 7.

Man darf eine Kongruenz nicht durch eine Zahl teilen, die Teiler des Modulus ist.

28.08.2010, 09:12

Mystic

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RE: Nicht äquivalente Kongruenzen

Zitat:

Original von Huggy
Man darf eine Kongruenz nicht durch eine Zahl teilen, die Teiler des Modulus ist.

Etwas genauer: Ist die Kongruenz

$\begin{eqnarray*} ax \equiv b \mod m \end{eqnarray*}$

gegeben und t ein gemeinsamer Teiler von a und b, so darf man genau dann "ungestraft" zu

$\begin{eqnarray*} \frac at x \equiv \frac bt \mod m \end{eqnarray*}$

übergehen (d.h., die beiden Kongruenzen sind dann äquivalent), wenn ggT(t,m)=1 ist...

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