Sowas ähnliches wie nilpotent?

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gadreel Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas ähnliches wie nilpotent?
Es sei K ein Körper und A eine Matrix, wobei n N und n >= 2 ist. Das Minimalpolynom von A sei gleich . Zeigen Sie, dass dann das charakteristische Polynom von A gleich X^n ist.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich weis, dass es nilpotente Matrizen gibt, aber bei denen ist doch das Minimalpolynom nicht X^n-1?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und enthält alle Faktoren des charakteristischen Polynoms. Also ist das charakteristische Polynom oder . Welchen Grad hat das charakteristische Polynom ?
 
 
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, musste die letzten Tage weg.

Welchen Grad? n oder was meinst du?

Es ist doch so, dass wenn ich die Matrix in das Minimalpolynom einsetze null rauskommt oder?
Aber wenn ich jetzt z.B. habe, dann ist nach der Aussage X das Minymalpolynom, aber wie soll das 0 werden???
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gadreel
Aber wenn ich jetzt z.B. habe, dann ist nach der Aussage X das Minymalpolynom


Nein, dort steht, wenn das Minimalpolynom ist, dann ist das charakteristische Polynom .

Die einzige Matrix, die als Minimalpolynom hat, ist die Nullmatrix.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall ist das Minimalpolynom, also , also das charakteristische Polynom und , und die Behauptung stimmt.
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah danke, das mit der Nullmatrix hatte ich mal im Kopf aber dachte immer die wollen was anderes.
Der Professor meinte auch mal wir sollen nicht zu kompliziert denken! Big Laugh

Danke für die Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr ... du bist noch nicht fertig, wir haben bisher nur den Fall n=2 erledigt. Was ist mit n=65789678965789656556745367 ?
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Matrix die keine Nullmatrix ist, geht das doch nicht oder?
Es gibt zwar nilpotente Matrizen, die bei einem n N die Nullmatrix ergeben, aber laut Definition für ein n-1 nicht mehr.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch auch gar nicht gefragt...

Zitat:
Original von Elvis
Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und enthält alle Faktoren des charakteristischen Polynoms. Welchen Grad hat das charakteristische Polynom ?


Wie wäre es mit diesem Gedankenanstoß von Elvis?
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss doch dann mind. den Gleichen Grad haben oder höher?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Grad hat das charakteristische Polynom einer -Matrix?
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

n?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt verwende den zweiten Anstoß von Elvis und du bist fertig.
gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Definition muss ja das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein.

z.Z.
IA: ,
IH: n -> n+1
IS:

Ich hoffe das ist jetzt kein Unfug! Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das k brauchen wir nicht, Induktion auch nicht. Damit wir zum Schluss kommen, fasse ich mal zusammen.




gadreel Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke :-)
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