Unabhängigkeit zweier ZV

28.08.2010, 00:19	kAz	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit zweier ZV Hallo, ich frage mich schon seit längerer Zeit, ob für eine Zufallsvariable X, die unabhängig von Y ist, auch gelten muss, dass X^2 unabhängig von Y ist? Das einzige, was mir einfällt ist, dass man sich überlegen muss, ob sich die zugehörigen Sigma-Algebren ändern? Bin dankbar für einen Tipp, Gruß
28.08.2010, 01:29	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine messbare Funktion, dann gilt $\begin{eqnarray} \sigma(f(X))\subset \sigma(X) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \sigma(X) \end{eqnarray}$ die erzeugte sigma-Algebra von X ist. Was bedeutet das jetzt (vergleiche mal mit der Definition von Unabhängigkeit von Zufallsvariablen)?
28.08.2010, 06:43	kAz	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} \sigma(f(X)) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sigma(f(Y)) \end{eqnarray}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray} \sigma(X) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sigma(Y) \end{eqnarray}$ , bleibt die Unabhängigkeit erhalten, und ich weiß, dass zumindest X^2 und Y^2 unabhängig sein müssen. Wie muss ich denn schließen, wenn $\begin{eqnarray} \sigma(Y) \end{eqnarray}$ nicht verkleinert wird? Gruß
28.08.2010, 11:50	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Also du hast gegeben dass für jede Wahl von Mengen aus $\begin{eqnarray} \sigma(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma(Y) \end{eqnarray}$ die Unabhängigkeit erfüllt ist. Jetzt machst du mit $\begin{eqnarray} \sigma(X^2) \end{eqnarray}$ die eine sigma-Algebra höchstens kleiner.
28.08.2010, 19:56	kAz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstehe, dann muss die Unabhängigkeit auch für jede Wahl von Mengen aus $\begin{eqnarray} \sigma(X^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma(Y) \end{eqnarray}$ bestehen bleiben, und die Aussage gilt für alle messbaren Funktionen, also hat man damit auch gleich die Unabhängigkeit von X^k und Y für k=3,4,... usw.
29.08.2010, 01:46	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau richtig, allgemein für 2 messbare Funktionen $\begin{eqnarray} f_1,f_2 \end{eqnarray}$ gilt dass auch noch $\begin{eqnarray} f_1(X), f_2(Y) \end{eqnarray}$ unabhängig sind.
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29.08.2010, 19:49	kAz	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, danke, das habe ich gesucht :-)

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