Grenzwertberechnung von Folgen

28.08.2010, 13:19

Meisenmann

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Grenzwertberechnung von Folgen

Hi,

ich hatte in der Schule sogut wie kein Mate und möchte deshalb meine Mathekenntnisse verbessern. Ich hab mir den Duden für Mathematik (Abitur) gekauft und möchte den von Zeit zu Zeit etwas durachabeiten.

Allerdings habe ich ein Problem mit der Grenzwertberechnung von Folgen.

Das Prinzip einer Folge und deren Grenzwert habe ich verstanden, allerdings habe ich mit dem Beweisen ein Problem.

Beispiel:

(an) = (n-1)/n

1. Grenzwert bestimmen, in diesem Fall "1", da die Folge gegen den Grenzwert 1 konvergiert.

2. | a - an | < E = | 1 - (n-1)/n |

Und jetzt komm ich nicht mehr weiter, bzw. ich versteh den Sinn nicht ganz.

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen.

Vielen Dank

28.08.2010, 13:26

Johnsen

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Hi!

Wsa du unter Nummer 2 stehen hast, ist die Definition der Konvergenz. Sagen wirs so: Es könnte jeder behaupten, dass die Folge gegen 1 konvergiert, aber um das zu beweisen, muss das mit der Definition geprüft werden. z.B. kannst du hier im Betrag den Hauptnenner bilden und dann siehst du schon was herauskommt.

Gruß

Johnsen

28.08.2010, 13:27

Cel

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Hey, gut, dass du was für Mathe tun möchtest!

Betrachte deine Folge doch mal so:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{n} = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Was kannst du jetzt weiter sagen?

Edit: Langsamer als Johnsen ...

28.08.2010, 13:37

Meisenmann

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Hi,

vielen Dank für die schnellen Antworten.

Das man das damit beweisen kann verstehe ich schon.

Ich verstehe nur das mit der Umformung nicht ganz.

Ich nehme mal an, dass das was ich da Aufstlle mir den Abstand des Wertes zum Grenzwert an der Stelle n der Folge a beschreibt. (Deshalb auch der Betrag).

Aber was soll ich nun mit dem Abstand an jeder beliebigen Stelle, oder liege ich vollkommen falsch und das ist garnicht der Abstand?

Danke nochmals

28.08.2010, 13:45

Cel

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Johnsen ist offline, und du hast schon eine gute Vorstellung, deswegen schubs ich dich noch ein wenig in die Richtung, in die du musst.

Tatsächlich geht es hier um den Abstand jedes Folgengliedes zum möglichen Grenzwert. Wenn du die Konvergenz mithilfe der Definition nachrechnen musst, ist deine Aufgabe, festzustellen, wie groß n mindestens sein muss, damit der Abstand zum GW kleiner als Epsilon wird. Und da Epsilon beliebig klein sein darf, kommt man mit großen Folgengliedern beliebig nahe an den Grenzwert ran.

Hier geht das (zum Beispiel) so:

$\begin{eqnarray*} \left|1 - \frac{n-1}{n}\right| = \left|1 - (1 - \frac{1}{n})\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Forme den Term zwischen den Beträgen so weit wie möglich um, überlege auch, warum die Betragsstriche weggelassen werden können. Forme dann nach n um. Wenn du das schaffst, bist du fertig.

28.08.2010, 14:25

Meisenmann

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Genau das ist mein Problem.

Ich versteh nicht WARUM, und vorallem WIE man nach n umformen soll?

Zu beweisen gilt doch: dass der Abstand zum Grenzwert aller Folgeglieder von n kleiner oder gleich Epsilon ist.

Was in deutsch übersetzt bedeuted um so kleiner Epsilon wird, umso genauer muss n und dessen Folgeglieder am Grenzwert liegen.

Aber ich versteh nicht was ich mit | 1 - (n-1) / n | > Epsiolon beweisen soll oder kann. Ich meine Epsilon und n können ja beliebige Werte sein.

Außerdem weiss ich nicht wie man nach n umformt

Wie gesagt, vielleicht fehlen mir einfach ein paar Grundlagen, mich ärgert das aber, da das Prinzip eigentlich sehr einfach ist, ich aber trozdem nichts aussrechnen kann.

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28.08.2010, 15:02

Iorek

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Da Cel jetzt auch off zu sein scheint:

Zitat:

Original von Meisenmann
Zu beweisen gilt doch: dass der Abstand zum Grenzwert aller Folgeglieder von n kleiner oder gleich Epsilon ist.

Was in deutsch übersetzt bedeuted um so kleiner Epsilon wird, umso genauer muss n und dessen Folgeglieder am Grenzwert liegen.

Nein, das bedeutet Konvergenz gerade nicht. Es bedeutet vielmehr, dass du für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ einen Folgenindex $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ findest, sodass für alle Folgenglieder, die einen größeren Index als dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ haben, der Abstand dieser Folgenglieder vom Grenzwert kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist. Vereinfacht ausgedrückt: ich werfe dir einige $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu und du bestimmst mir zu jedem dieser $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ den Folgenindex $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sodass alle nachfolgenden Folgenglieder weniger als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vom Grenzwert entfernt sind.

Zitat:

Original von Meisenmann
Genau das ist mein Problem.

Ich versteh nicht WARUM, und vorallem WIE man nach n umformen soll?

Damit sollte diese Frage eigentlich geklärt sein, du formst dir das so um, damit du diesen Folgenindex $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bennenen kannst.

Zitat:

Original von Meisenmann
Aber ich versteh nicht was ich mit | 1 - (n-1) / n | > Epsiolon beweisen soll oder kann. Ich meine Epsilon und n können ja beliebige Werte sein.

Außerdem weiss ich nicht wie man nach n umformt

Ja, dein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Zahl größer als null, das tut ja aber nichts zur Sache. Schließlich willst du das für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zeigen, nicht nur für einige, wenige.

Und nach n umformen sollst du schon können, das ist eine einfache Ungleichung.

Eine einfache Beispielaufgabe:

Betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\frac 1n \end{eqnarray*}$ . Diese Folge konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , denn:

Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ wählt man $\begin{eqnarray*} N=\frac 1{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ (diese Wahl von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ scheint hier erstmal vom Himmel zu fallen, tut sie aber nicht), dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|=|a_n-0|=|a_n|=|\frac 1n|=\frac 1n<\frac 1N=\varepsilon \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Konvergenz gezeigt.

Wo kommt jetzt die Wahl von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ her? Man rechnet zuerst $\begin{eqnarray*} |a_n-a|=\dots \end{eqnarray*}$ aus, formt das um und schreibt dann auf, wie man das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zu wählen hat, damit für alle weiteren Folgenglieder...

Übertrag das Vorgehen jetzt mal auf deine Folge, und verwende dafür auch die Hilfestellung, die Cel dir schon gegeben hat.

28.08.2010, 16:18

Meisenmann

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Hi,

vielen Dank für Deine ausführliche Antwort, aber so versteh ichs nicht, fast genauso stehts in meinem buch( gleiches beispkel 1/n)

Ich versteh einfach nicht was

1/n < 1/N aussagt. N und n sind doch variable Werte.

28.08.2010, 16:25

Iorek

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Nein, das hängt alles von dem vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab.

Mach dir mal ein Zahlenbeispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac 14 \end{eqnarray*}$ , wie musst du zu diesem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ den Folgenindex $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen, sodass für alle weiteren Folgenglieder, also für alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ der Abstand zum Grenzwert kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ ist?

$\begin{eqnarray*} |a_n-0|=|a_n|=|\frac 1n|=\frac 1n<\frac 1N =\frac 14 \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es hier zwei Fragen zu klären:
1. Warum gilt $\begin{eqnarray*} \frac 1n<\frac 1N \end{eqnarray*}$ ?
2. Wie musst du $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen, damit die letzte Gleichung erfüllt ist, sprich: welche $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} \frac 1N=\frac 14 \end{eqnarray*}$ ?

Wähle dir danach z.B. mal $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac 18 \end{eqnarray*}$ und auch einmal $\begin{eqnarray*} \varepsilon=5 \end{eqnarray*}$ , wie verändert sich der Folgenindex in diesen Fällen?

28.08.2010, 19:04

Meisenmann

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Hi!

Iorek, vielen Dank für Deine Hilfe. Das will aber nicht in meinen Kopf rein.

Ich hab das Prinzp schon verstanden, ist ja eigentlich auch ganz einfach.

Ich versteh nur das mit dem Beweisen nicht.

Wenn ich Epsilon = 1/4 wähle, dann ist N=4, weil nach n=4 alle Folgeglieder weniger als 1/4 von 0 (dem angenommenen Grenzwert) entfernt sind.

Wenn ich Epsilon = 1/8 wähle, dann ist N=8, weil nach n=8 alle Folgeglieder weniger als 1/8 von 0 entfernt sind.

Wähle ich Epsilon = 5 (oder auch 1,2, ...), ist N=1 weil die maximale Enfernung von 0 die 1 (1/1) ist.

Aber dass 1/n < 1/N das oben beschriebene beweist und wie ich das auf andere Folgen übertragen soll, versteh ich nicht.

Danke nochmals für die Mühe

28.08.2010, 20:33

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \frac 1n<\frac 1N \end{eqnarray*}$ ist nur ein Teil, aber noch nicht der gesamte Beweis.

Ich seh im Moment aber auch nicht genau, wo dein Problem liegt... verwirrt

verwirrt

Hast du für die vorgegebenen Epsilons die formal korrekte Abschätzung gemacht oder hast du die ersten 4 Folgenglieder ausgerechnet, ab dem fünften gesehen dass es kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ ist und so das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bestimmt?

Edit: Ich glaube ich habe beim kompletten Durchlesen des Threads dein Problem erkannt, korrigiere mich wenn ich falsch liege.

Definition: Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Man nennt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ den Grenzwert der Folge, falls zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

So oder so ähnlich sollte ja bei euch auch der Konvergenzbegriff definiert sein.

Dieses $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ hängt jetzt von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , es ist zwar sogesehen eine Variable, trotzdem ist es abhängig von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Wenn ich dir ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vorgebe, suchst du nach diesem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sodass der Abstand der weiteren Folgenglieder weniger als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vom Grenzwert entfernt ist. Anders ausgedrückt: du hast das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bestimmt und kannst dann natürlich auch das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_N \end{eqnarray*}$ berechnen; alle weiteren Folgenglieder haben also insbesondere einen größeren Index, darum also $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir jetzt die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\frac 1n \end{eqnarray*}$ untersuchen heißt das also auch, dass alle weiteren Folgenglieder kleiner als das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied sind. Warum? $\begin{eqnarray*} n>N \Leftrightarrow \frac 1n <\frac 1N \end{eqnarray*}$ ; wir teilen durch eine größere Zahl, also ist das Ergebnis kleiner.

Jetzt gucken wir uns nochmal die Abschätzung an:

Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ wähle man...hier setzen wir gleich das Ergebnis aus unserer Abschätzung ein...
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} |a_n-0|=|a_n|=|\frac 1n|=\frac 1n<\frac 1N=\varepsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt uns nur noch die Wahl von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ um das abzuschließen. Dazu lösen wir einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac 1N=\varepsilon \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf und erhalten $\begin{eqnarray*} N=\frac 1\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Ist es damit klarer geworden?

28.08.2010, 21:50

Meisenmann

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Hi Iorek,

ist echt super nett, dass Du Dir die Mühe machst und mir das so ausführlich erklärst.

Mein Problem ist eher, dass ich nicht verstehe wie man die passende Gleichung bzw. Ungleichung aufstellt, damit der Grenzwert generell, also für alle Epsilon erfüllt ist.

Ich hatte kein Mathe in der Schule und deshalb fehlen mir bei solchen Sachen oft die Grundlagen. Das Prinzip der Grenzwertberechnung habe ich ich schon verstanden.

Zitat:

Hast du für die vorgegebenen Epsilons die formal korrekte Abschätzung gemacht oder hast du die ersten 4 Folgenglieder ausgerechnet, ab dem fünften gesehen dass es kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ ist und so das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ bestimmt?

Ich weiss z. B. nicht wie man die formal korrekte Abschätzung macht, ich hab einfach im Kopf gedacht - (ist ja auch ganz einfach, da die Folge mit $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ berechnet wird, ist der Abstand zu 0 ab n=5 (einschließlich) kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ .

Ich mach das Ganze nur für mich, ich hab keinen Lehrer oder Dozenten, der mir das erklärt und somit keine Prüfung oder so zu bestehen, es ärgert mich nur dass ich es nicht kapier, denn es ist bestimmt garnicht so kompliziert.

Vielleicht würde ich es an einem anderen Beispiel, wo die Lösung nicht so offensichtlich ist besser verstehen.

28.08.2010, 22:28

Iorek

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Zitat:

Original von Meisenmann
Mein Problem ist eher, dass ich nicht verstehe wie man die passende Gleichung bzw. Ungleichung aufstellt, damit der Grenzwert generell, also für alle Epsilon erfüllt ist.

Dadurch, dass du kein festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vorgibst, sondern das für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ berechnest, ist das für alle erfüllt.

Zitat:

Original von Meisenmann
Ich weiss z. B. nicht wie man die formal korrekte Abschätzung macht, ich hab einfach im Kopf gedacht - (ist ja auch ganz einfach, da die Folge mit $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ berechnet wird, ist der Abstand zu 0 ab n=5 (einschließlich) kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ .

Ja, bei der Folge ist das noch recht einfach, das stimmt.

Wie man die passende Gleichung/Ungleichung aufstellt und die Abschätzung macht:

Du stellst eine Vermutung auf, gegen welchen Wert die Folge konvergiert und gehst dann eigentlich streng nach der Definition vor. Du bildest $\begin{eqnarray*} |a_n-a| \end{eqnarray*}$ und versuchst das soweit abzuschätzen und umzuformen, bis du das Ergebnis da stehen hast.

Nehmen wir mal die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=2+\frac {\sqrt{n+1}}{n^2} \end{eqnarray*}$ , wir könnten z.B. ein paar Folgenglieder ausrechnen und eine gewisse Regelmäßigkeit feststellen, je größer das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird, umso näher ist das Folgenglied bei der 2. Also behaupten wir, dass die Folge gegen 2 konvergiert. Das wollen wir jetzt beweisen, indem wir das $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium aus der Definition der Konvergenz verwenden.

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Um nochmal drauf einzugehen; in Musterlösungen steht an dieser Stelle jetzt, wie das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zu wählen ist. Das sieht dann immer so aus, als wäre es vom Himmel gefallen, das ganze ist aber einfach "rückwärts" zu lesen; man führt die Berechnung durch und schreibt dann hin, wie man das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen muss, damit das so funktioniert. Man wähle $\begin{eqnarray*} N=\frac 4{\varepsilon ^2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_n-2|=|2+\frac {\sqrt{n+1}}{n^2}-2|=|\frac {\sqrt{n+1}}{n^2}|\stackrel {1.}= \frac {\sqrt{n+1}}{n^2}\stackrel {2.} \leq \frac {\sqrt{n+n}}{n^2}=\frac {\sqrt{2n}}{n^2}=\frac {\sqrt{2}\sqrt{n}}{n^2}\stackrel {3.} <2\frac {\sqrt{n}}{n^2}= 2 \frac {n^{\frac 12}}{n^2}=\frac 2 {n^{\frac 12}}=\frac 2 { \sqrt {n}} \stackrel {4.} <\frac 2{\sqrt{N}}=\varepsilon \end{eqnarray*}$

Wir setzen also erstmal nur in die Definition ein und erhalten $\begin{eqnarray*} |\frac{\sqrt{n+1}}{n^2}| \end{eqnarray*}$ , mit welcher Begründung ist die Gleichheit in $\begin{eqnarray*} 1. \end{eqnarray*}$ gegeben, d.h. wieso dürfen wir die Betragsstriche weglassen?

Danach machen wir in $\begin{eqnarray*} 2. \end{eqnarray*}$ eine Abschätzung nach oben, wieso ist diese richtig? Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt und es ein kleinstes Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt.

Mit den Wurzelgesetzen ziehen wir es danach auseinander und machen in $\begin{eqnarray*} 3. \end{eqnarray*}$ eine weitere Abschätzung nach oben, wieso ist diese richtig?

Erneut verwenden wir die Wurzel- und Potenzgesetze und formen weiter um, bis wir in $\begin{eqnarray*} 4. \end{eqnarray*}$ die letzte Abschätzung machen, warum ist diese Abschätzung richtig?

Nachdem wir diese Rechnung durchgeführt haben, können wir unser $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ bestimmen, wir lösen dazu einfach die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt N}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf und erhalten $\begin{eqnarray*} N=\frac 4{\varepsilon ^2} \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Mir ist gerade aufgefallen, dass man besser $\begin{eqnarray*} N\geq\frac 4{\varepsilon ^2} \end{eqnarray*}$ schreiben sollte, da ja nicht für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ dieser Ausdruck eine natürlich Zahl ist. Das macht allerdings keinen großen Unterschied, unsere Abschätzung verändert sich lediglich ganz am Ende zu $\begin{eqnarray*} \frac 2{\sqrt N}\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ , die Konvergenz ist damit immer noch nachgewiesen.

Kannst du dieses Vorgehen damit jetzt auf deine Folge übertragen?

29.08.2010, 12:26

Meisenmann

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Hi,

@Iorek
Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe und sorry, dass ich erst jetzt Antworte.

Wie man zu 1. kommt ist mir klar. Dass man die Betragsstriche weglassen kann ist mir auch klar: Da n nicht negativ sein kann, der Abstand ist also immer positiv, ergo werden keine Betragsstriche benötigt.

Dann kommt der Teil, den ich von Anfang an nicht nachvollziehen konnte: mein Problem ist 2. und 3.

Zitat:

Danach machen wir in $\begin{eqnarray*} 2. \end{eqnarray*}$ eine Abschätzung nach oben, wieso ist diese richtig? Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ liegt und es ein kleinstes Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt.

Was ist eine Abschätung nach oben und wieso wird aus der 1 aufeinmal ein n.

Dies ist auch genau der Schritt, den ich in meinem Buch nicht verstehen kann, weil keine Erklärung dabei steht.

Im Buch ist die folgende Folge gegeben:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}=\frac {{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$

Als Grenzwert nehme ich die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an. Somit kann der Abstand zum angenommen Grenzwert an jedem beliebigen Glied der Folge durch

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|=|\frac {{n-1}}{n}-1| \end{eqnarray*}$

Auch hier können die Betragsstriche weggelassen werden, da kein negativer Wert entstehen kann

Soweit ist es noch verständlich, aber jetzt macht der Author soetwas ähnliches wie Du in Schrit 2 gemacht hast (aus einer 1 ein n)

$\begin{eqnarray*} |\frac {{n-1}}{n}-1| = |\frac {n-1-n}{n}| = |\frac {-1}{n}| = \frac 1n \end{eqnarray*}$

Das sind zwei Beispiele von dem was ich nicht verstehe. Wie formt man soetwas um?

Danke und viele Grüße
Meisenmann

29.08.2010, 13:08

Iorek

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Zitat:

Original von Meisenmann
Was ist eine Abschätung nach oben

Abschätzung

Bei einer Abschätzung nach oben, wird der gegebene Ausdruck gegen einen größeren Ausdruck abgeschätzt. Ein triviales Beispiel wäre z.B. $\begin{eqnarray*} 0+1 \leq 0+n=n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Die 1 ist eine natürliche Zahl, gleichzeitig ist es aber auch die kleinste natürliche Zahl. Wenn wir also jetzt irgendeine natürliche Zahl zu 0 addieren, ist das Ergebnis also immer größer/gleich 1, wir haben also nach oben abgeschätzt.

So eine ähnliche Begründung ist auch bei $\begin{eqnarray*} 2. \end{eqnarray*}$ erforderlich, darauf zielte mein Hinweis ab:

Zitat:

Original von Iorek
Bedenke, dass $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist und es ein kleinstes Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt.

$\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{n+1}}{n^2}\stackrel {2.} \leq \frac {\sqrt{n+n}}{n^2} \end{eqnarray*}$

Wir haben $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ , allerdings ist die 1 die kleinste natürliche Zahl, also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}\leq\sqrt{n+n} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Somit können wir also nach oben abschätzen.

Warum wir so abschätzen? Weil es funktioniert. Abschätzungen erfordern einfach Übung um zu sehen, welche Abschätzung zum Ziel führt. Als ich gestern diese Aufgabe durchgerechnet hab, hab ich zuerst auch eine "falsche" Abschätzung gemacht; falsch in dem Sinne, dass sie nicht zum Ziel führt.

Versuch dich damit mal an den letzten beiden Abschätzungen die ich gemacht habe.

Zu deinem Beispiel: dort wird keine Abschätzung gemacht, sondern die Bruchrechenregeln angewendet: $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}n-1=\frac{n-1}n-\frac nn=\frac {n-1-n}n \end{eqnarray*}$ .

29.08.2010, 15:27

Meisenmann

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Iorek, Du wirst es nicht glauben... ich habs kapiert. Vielen herzlichen Dank für Deine Mühe.

Schönes rest WE
Grüße Meisenmann

29.08.2010, 15:36

Iorek

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Wenn du es verstanden hast, ist doch wunderbar smile

smile

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