Zwei Lösungen zur Kettenregel, sind beide erlaubt?

28.08.2010, 15:46

Paul_88

Zwei Lösungen zur Kettenregel, sind beide erlaubt?

Hallo,
ich habe die Aufgabe mittels Kettenregel die partielle Ableitung zu bestimmen (zur Übersichtlichkeit habe ich nur die Ableitung einer Variablen reingestellt).
Es geht um die folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \\ f(x,y)=\cos(xy) \end{eqnarray*}$

und außerdem um diese Koordinatentransformation:

$\begin{eqnarray*} \widetilde{x}(u,v)=2u-v\ \text{und}\ \widetilde{y}(u,v))=2u+v\ \text{mit}\ \widetilde{f}(u,v)=f(\widetilde{x}(u,v),\widetilde{y}(u,v)) \end{eqnarray*}$

Meine Musterlösung schlägt folgendes vor:

$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}_u(u,v)=f_x(\widetilde{x}(u,v),\widetilde{y}(u,v))\widetilde{x}_u(u,v)+f_y(\widetilde{x}(u,v),\widetilde{y}(u,v))\widetilde{y}_u(u,v)\\ = [-(2u+v)\sin((2u-v)(2u+v))]\cdot 2 + [-(2u-v)\sin((2u-v)(2u+v))] \cdot 2 \\ = -2(2u+v+2u-v)\sin(4u^2-v^2)=-8v \sin(4u^2-v^2) \end{eqnarray*}$

Das ich aber erstens nicht verstehe und zweitens zumindest vom schreibaufwand her, deutlich aufwendiger finde als meine Lösung. Bei dierser habe ich erstmal einfach die neue Funktion $\begin{eqnarray*} \widetilde{f} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und dann abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \widetilde{f}(u,v)=f(\widetilde{x}(u,v),\widetilde{y}(u,v)) = \cos((2u-v)(2u+v)=\cos(4u^2-v^2)\\ \widetilde{f}_u=-\sin(4u^2-v^2)(8u)=-8u\sin(4u^2-v^2) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Hilfe!

Paul

28.08.2010, 21:28

system-agent

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Erlaubt sind sicher beide. Beidesmal tut man mehr oder weniger dasselbe.
Die Musterlösung nutzt eben die Kettenregel, genau wie du schreibst. Sie soll dir wohl zeigen wie man allgemein vorgehen kann.

Aber ich persönlich finde deinen direkten Ansatz hier auch wesentlich besser.

29.08.2010, 10:32

Paul_88

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Heißt das, dass ich selbst die Kettenregel nicht benutze? Da bin ich mir nämlich unsicher, da meine Anwendung sich stark an dem orientiert, was ich in der Schule gelernt habe nämlich:

$\begin{eqnarray*} f(g(x))'=f(g(x))'\cdot g(x)' \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn die allgemeine Kettenregel aus, sofern ich das richtig verstehe, ist die erste Zeile ja auch schon auf meine Aufgabe angepasst (ich gestehe mit Wiki komme ich hier nicht direkt weiter).

Vielen Dank!

29.08.2010, 11:28

system-agent

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Sagen wir so: Die Kettenregel sagt dir wie du eine Komposition von Funktionen ableiten kannst, wenn du nur die Funktionen kennst, nicht aber die resultierende Funktion deren Verkettung ausgerechnet hast.

Das was du gemacht hast ist, dass du die resultierende Funktion der Verkettung ausgerechnet hast und diese neue Funktion dann abgeleitet hast.
Also hast du streng genommen tatsächlich nicht die Kettenregel genutzt, beziehungsweise hast du sie erst dann genutzt, um die neu erhaltene Funktion abzuleiten.

Es stimmt, die erste Zeile deiner Musterlösung ist die direkte Anwendung der Kettenregel, im Fall von Funktionen von mehreren Variablen.
Du hast also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und den Koordinatenwechsel
$\begin{eqnarray*} \Psi: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} (u,v)\mapsto(2u-v,2u+v)=: (\Psi_1(u,v),\Psi_2(u,v)) \end{eqnarray*}$ .

Nun sagt die Kettenregel
$\begin{eqnarray*} (D(f\circ\Psi))_{(u,v)}=(Df)_{\Psi(u,v)}\circ(D\Psi)_{(u,v)} \end{eqnarray*}$
oder ausformuliert in deinem Fall:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial (f\circ\Psi)}{\partial u}(u,v),\frac{\partial (f\circ\Psi)}{\partial v}(u,v)\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_1}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_2}{\partial u}(u,v),\frac{\partial f}{\partial x}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_1}{\partial v}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_2}{\partial v}(u,v)\right) \end{eqnarray*}$
und davon hast du mit dem obigen die erste Komponente ausgerechnet.

29.08.2010, 12:23

Paul_88

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Vielen Dank, system-agent so langsam verstehe ich ein wenig mehr.

Leider komme ich aber hier noch nicht ganz mit dem "Verkettungs-Punkt" klar.

Zitat:

Original von system-agent
Nun sagt die Kettenregel
$\begin{eqnarray*} (D(f\circ\Psi))_{(u,v)}=(Df)_{\Psi(u,v)}\circ(D\Psi)_{(u,v)} \end{eqnarray*}$

Normalerweise hieß für mich dieser Punkt immer ich setze die eine in die andere Funktion ein, aber hier ist es ja irgendwie nicht so. Ich versuche gerade noch eine parallele zur Schulmathematik zu ziehen, wo es ja so war, wie ich es in meinem vorigen Post beschrieben hatte das also f(g(x))= f(g(x))' g(x), hier ist allerdings kein Verkettungsoperator drin sondern ein ganz normaler, langweiliger Multiplikationsoperator :P.

Zu deinem zweiten Teil habe ich auch noch eine Frage (habe es mal wieder auf die erste Komponente gekürzt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial (f\circ\Psi)}{\partial u}(u,v)\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_1}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial y}(\Psi(u,v))\cdot\frac{\partial \Psi_2}{\partial u}(u,v)\right) \end{eqnarray*}$

Ich kann noch nicht ganz nachvollziehen warum man hier eine Addition macht. Diese Addition erinnert mich irgendwie an die Produktregel, die aber in ihrer Funktionsweise doch wieder völlig anders ist. Liegt es daran das wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bewegen? Müsste ich dann also im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ nach x,y,z ableiten (jeweils multipliziert mit der verketten Funktion)?

Fragen über Fragen, vielen Dank für eure/deine Hilfe, ich fühle mich auf alle Fälle schonmal schlauer smile

.

Paul

29.08.2010, 12:37

system-agent

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Zitat:

Original von Paul_88
Normalerweise hieß für mich dieser Punkt immer ich setze die eine in die andere Funktion ein, aber hier ist es ja irgendwie nicht so. Ich versuche gerade noch eine parallele zur Schulmathematik zu ziehen, wo es ja so war, wie ich es in meinem vorigen Post beschrieben hatte das also f(g(x))= f(g(x))' g(x), hier ist allerdings kein Verkettungsoperator drin sondern ein ganz normaler, langweiliger Multiplikationsoperator :P.

Tja, hier ist es die Verkettung der linearen Abbildungen "Differential". Wenn man das als Matrix ausschreibt, dann ist es die Matrizenmultiplikation.
Und das was du aus der Schule kennst ist genau das Gleiche:
Multiplikation zweier 1x1-Matrizen.

Zitat:

Original von Paul_88
Ich kann noch nicht ganz nachvollziehen warum man hier eine Addition macht.

Das kommt aus der Matrizenmultiplikation. Deine beiden Differentiale sind:
$\begin{eqnarray*} (Df)_{x,y}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (D\Psi)_{(u,v)}=\begin{pmatrix} \frac{\partial \Psi_1}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial \Psi_1}{\partial v}(u,v) \\ \frac{\partial \Psi_2}{\partial u}(u,v) & \frac{\partial \Psi_2}{\partial v}(u,v) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Paul_88
Liegt es daran das wir uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bewegen? Müsste ich dann also im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ nach x,y,z ableiten (jeweils multipliziert mit der verketten Funktion)?

Im Prinzip schon, ja.

29.08.2010, 12:41

Paul_88

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Jetzt ist der Groschen gefallen, oder wie das Sprichwort ging smile

. Mit dem Aufzeigen der beiden Matrizen ist es mir klar geworden, super!

Vielen Dank smile

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