Funktionsschar mit Parameter k |
| 28.08.2010, 16:04 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsschar mit Parameter k Guten Abend allerseits 
Ich beiße mir gerade die Zähne an einer Funktionsschar mit einem Parameter k aus. Irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig, ich komme nur bis zu dem Punkt, an dem die pq-Formel anzuwenden wäre, doch dabei versage ich kläglich, da ich nicht so recht weiß wie. Es geht um die Funktion: kx² + x - 3k²x - 3k Meine Ideen: Meine eigenen Ansätze sind die folgenden: kx² + x - 3k²x - 3k <=> k(x² + (1/k)x - 3kx - 3) <=> x² + (1/k - 3k)x - 3 soweit komme ich, an dieser Stelle wäre ja die pq-Formel anzuwenden, doch ganz gleich, wie ich die einsetze, sie wirft mir das falsche Ergebnis raus. Laut Lehrbuch ist die Lösung {3k;-(1/k)} für k <> 0. Doch darauf komme ich nicht, vor allem frage ich mich, wo die -3 hin ist? Könnte mir bitte jemand helfen? Bin irgendwie wie der Ochse im Wald. Danke. El Barto |
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| 28.08.2010, 16:24 | Johnsen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi! Ich denke du sollst die Nullstellen berechnen, schreibe das bitte künfitg explizit in die Fragestellung. Du schreisbt deine Form wie folgt: Und dann kannst du deine p-q formel anwenden! Du kommst sofort auf deine gegebenen Ergebnisse! Gruß Johnsen |
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| 28.08.2010, 21:20 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsschar mit Parameter k Danke Johnsen. Habe die konkrete Frage total verschwitzt. Jedoch komme ich gerade nicht wirklich darauf, wieso du diese in diese Form gebracht hast. Und wenn ich sie in die pq-Formel einsetze, so komme ich nicht wirklich auf die Lösung. Könntest du mir da mal einen Wink mit dem Zaunpfahl geben? El Barto |
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| 28.08.2010, 21:40 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Funktionsschar mit Parameter k
wo siehst du denn da eine Funktion? (du hast ja nur mal einen Rechenterm notiert) meinst du f(x)= ... ? und suchst zuerst mal die Nullstellen , also mögliche Lösungen von kx² + x - 3k²x - 3k = 0 und hier noch der Tipp: klammere bei den rot markierten Summanden den Faktor x aus dann bekommst du auf der linken Seite den Term, den Johnsen dir notiert hat. ok? |
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| 28.08.2010, 21:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du nicht vielmehr die Mitternachtsformel/abc-Formel? Die pq-Formel ist doch zu gebrauchen, falls man das normiert hat. |
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| 28.08.2010, 22:49 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke corvus, jedoch komme ich noch immer nicht auf diese Lösung -.- Weder mit pq- noch mit Mitternachtsformel... Könnte mir bitte jemand dies mal irgendwie Schritt für Schritt näher bringen? Ich könnte wirklich verzweifeln. El Barto |
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| 28.08.2010, 23:32 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau: weder noch .. Tipp: schlag mal nach, wie die Lösungsformel für Gleichungen dieser Form aussieht: ax² + bx + c = 0 und setzt dann dort ein für a= k b= (1-3k²) c= -3k mach mal: -> .. |
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| 29.08.2010, 00:44 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Scheinbar bin ich zu blöd dafür. Die einzigen Methoden, die ich gefunden habe um eine solche ax² + b + c-Formel zu lösen, sind eben zu einem die pq- und zum anderen die Mitternachtsformel. Und mit diesen beiden kriege ich es nicht wirklich hin. El Barto |
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| 29.08.2010, 08:32 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung ax² + bx + c =0 und setzte zur Lösung deines Beispiels ein - für : a= k b= (1-3k²) c= -3k oder x² +px+q=0 p= b/a = (1-3k²) / k q= c/a = - 3 mach mal: -> .. |
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| 29.08.2010, 12:00 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, ich schreibe mal kurz nieder, was ich mir so zusammenrechne. Vielleicht mache ich nach dem Einsetzen irgendwas falsch. Also: kx² + x - 3k²x - 3k | x im Zentrum ausklammern <=> kx² + x(1 - 3k²) - 3k | k ausklammern <=> k(x² + (1 - 3k²)/k - 3)| nun p und q bestimmten p = (1 - 3k²)/k ; q= 3 Anwendung in pq-Formel: -((1 - 3k²)/k/2) -> -((0,5 - 1,5k²)/k) +/- sqrt(-((0,5 - 1,5k²)/k)² + 3) = (0,5 + 1,5k²)/k + 1,73 x1 = -((0,5 - 1,5k²)/k) + (0,5 + 1,5k²)/k + 1,73 = -(1/k) + 1,73 x2 = -((0,5 - 1,5k²)/k) - (0,5 + 1,5k²)/k - 1,73 = 3k - 1,73 Ulkigerweise komme ich ja auf die Lösungen, doch habe ich das Anhängsel der +3. Jedoch kann es auch sein, dass es schlicht falsch ist, was ich da rechne. El Barto |
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| 29.08.2010, 12:40 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau so ist es - aber ich hatte dir oben doch schon aufgeschrieben, dass q= - 3 ist also: merke: du musst die Parameter einschliesslich zugehörigem Vorzeichen nehmen. also, mach nun alles nochmal richtig : -> ... |
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| 29.08.2010, 13:07 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moment, in der Wurzel wird das Zeichen doch umgedreht, oder nicht? So dass aus der -3 eine +3 wird. Aber selbst wenn ich die -3 in der Wurzel verwende, so fällt diese doch nicht einfach weg, oder irre ich da? El Barto |
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| 29.08.2010, 16:36 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kx² + x - 3k²x - 3k = 0 ax² + bx + c = 0
und nocheinmal: du sollst für die Parameter a,b,c der Formel x1/2= [-b +- sqrt(b² - 4*a*c)] / 2 schlicht dies einsetzen (enschliesslich der richtigen Vorzeichen) : a= k b= (1-3k²) c= -3k schön langsam, dann schaffst du es sicher so, dass dir nicht gleich was wegfällt.. was du aber anschliessend machen solltest: vereinfache die Diskriminante zu einem vollständigen Binom-Quadrat .. usw.. |
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| 29.08.2010, 20:28 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So langsam wird es peinlich für mich. Die Mitternachtsformel habe ich schon gestern Abend verwendet, und kam da, nicht auf das richtige Ergebnis. Genauso wenig mit der pq-Formel. Aber hier meine Rechnerei mit der Mitternachtsformel: x1/x2= [-(1 - 3k²) +/- sqrt((1 - 3k²)² - 4 * k * (-3k))]/2k <=> [-(1 - 3k²) +/- sqrt(9k^4 + 12k² + 1)]/2k <=> [-(1 - 3k²) +/- 3k² + 3,464k + 1]/2k Ergibt dann für x1 = 3k + 1,732 x2 = -1/k - 1,732 Scheinbar rechne ich falsch. Auf jeden Fall danke für die Anstrengungen deinerseits corvus
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| 29.08.2010, 21:23 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also : unter der Wurzel hast du zu Beginn (1 - 3k²)² - 4 * k * (-3k) das ist ok. aber dann vergisst du bereits in der nächsten Zeile den letzten Summanden - 4 * k * (-3k) und/oder das doppelte Produkt... denke mit: (1 - 3k²)² - 4 * k * (-3k) = 9k^4 - 6k² + 1 + 12k² = 9k^4 + 6k² + 1 = (1 + 3k²)² und daraus kannst du doch dann wunderbar im nächsten Schritt die Quadratwurzel ziehen .. usw.. bekommst du es jetzt auf die Reihe? -> ......
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| 30.08.2010, 00:01 | El_barto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
corvus.... vielen Dank für deine unendliche Geduld
Ich muss auf jeden Fall die binomischen Formeln noch mal durchackern... So viel Mühe, und am Ende war es ganz einfach... [-(1 - 3k²) +/- sqrt((1 - 3k²)² - 4k*(-3k))]/2k <=> [-(1 - 3k²) +/- sqrt(1 + 6k² + 9k^4)]/2k | faktorisieren <=> [-(1 - 3k²) +/- sqrt((1 + 3k²)²)]/2k <=> [-1 + 3k² +/- 1 + 3k²]/2k Ergibt dann: x1 = 3k x2 = -(1/k) Nochmal vielen Dank!
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