Grenzwert einer Folge

29.08.2010, 00:22

mathinitus

Grenzwert einer Folge

Hallo!

Habt ihr eine Idee, wie man den Grenzwert dieser Folge bestimmen kann? Ich hab aber noch nicht einmal bewiesen, dass sie konvergiert, könnte also sein, dass es keinen Grenzwert gibt, das glaube ich aber nicht, denn die Folge ist beschränkt, also hat sie zumindest eine konvergente Teilfolge und dass das Teil oszilliert, glaube ich nicht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_n=\left( \frac{2n-1}{2n} \right)^n=\left( 1-\frac{1}{2n} \right)^n \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 00:33

corvus

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von mathinitus
... wie man den Grenzwert dieser Folge bestimmen kann?

$\begin{eqnarray*} a_n=\left( \frac{2n-1}{2n} \right)^n=\left( 1-\frac{1}{2n} \right)^n \end{eqnarray*}$

könntest du diesen Grenzwert ermitteln: ->

$\begin{eqnarray*} \left[(1+\frac{1}{m})^m \right] ^{-\frac{1}{2}} <br /> \end{eqnarray*}$
....................................................................... verwirrt

29.08.2010, 01:00

mathinitus

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Ja klar, der Grenzwert deiner Folge sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{e}} \end{eqnarray*}$ sein.

29.08.2010, 01:09

Airblader

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Wenns jetzt noch nicht Klick gemacht hat, dann substituiere m = -2n.

air

29.08.2010, 01:14

mathinitus

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Zitat:

Original von Airblader
Wenns jetzt noch nicht Klick gemacht hat, dann substituiere m = -2n.

air

Das habe ich mir auch schon gedacht, schon vor meinem ersten Post, nur wie bekomme ich das Minus weg?

Ich bekomme dann doch:

$\begin{eqnarray*} a_n=\left(\frac{m}{m-1}\right)^{-\frac{m}{2}} \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 01:18

mathinitus

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Ups, habe mit 2n=m substituiert, habe das Minus in der Substitution nicht beachtet.

Dann hätte ich also: $\begin{eqnarray*} a_n=\left(\frac{m+1}{m}\right)^{-\frac{m}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Wobei hier das m gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ laufen muss.

29.08.2010, 01:35

Airblader

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Okay, substituieren wir mal nur m=2n, um uns das zu ersparen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{m \to \infty} \left(1-\frac{1}{m}\right)^\frac{m}{2} = \lim_{m \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{m}\right)^m\right)^\frac12 \end{eqnarray*}$

Die Wurzelfunktion ist stetig, also kannst du den Limes eine Klammer nach innen ziehen. Und den Grenzwert vom Inneren dürftest du kennen (beachte das Minus anstatt des Plus).

air

29.08.2010, 08:41

mathinitus

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Hm, es geht ja nun um $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} \left(1-\frac{1}{m}\right)^m \end{eqnarray*}$ . Die innere Klammer ist immer kleiner 1 und hat aber den Grenzwert 1. Würde sie zu einer Zahl kleiner 1 konvergieren, wäre klar, dass durch die m-Potenz der Grenzwert 0 ist. So ist es hier aber nicht, daher ist mir nicht so richtig klar, was der Grenzwert dieser Folge ist.

29.08.2010, 08:47

mathinitus

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Ich vermute mal $\begin{eqnarray*} \frac1e \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \left(\frac{m-1}{m}\right)^m \end{eqnarray*}$ ja so ähnlich aussieht wie $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \end{eqnarray*}$ und für letztes der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac1e \end{eqnarray*}$ ist. Aber das ist kein Beweis.

29.08.2010, 15:08

mathinitus

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Kann denn keiner helfen?

29.08.2010, 15:51

system-agent

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Es ist $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{m}=1+\frac{-1}{m} \end{eqnarray*}$ . Dann kriegst du
$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{-1}{m}\right)^m=e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

29.08.2010, 16:07

mathinitus

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Zitat:

Original von system-agent
Es ist $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{m}=1+\frac{-1}{m} \end{eqnarray*}$ . Dann kriegst du
$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{-1}{m}\right)^m=e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ah, okay. Nun weiß ich, warum ich nicht drauf gekommen bin. Wir hatten die Exponentialfunktion nämlich immer nur als Potenzreihe definiert und nur e als $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right)^n \end{eqnarray*}$ . Aber okay, dann ist's klar und trivial.

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