Allgemeine Fragen, Stetigkeit

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Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Guten Tag miteinander!

Ich hätte drei Fragen:

1.) Was meint man genau mit folgender Aussage:
"Sei x aus X. Dann ist {x} abgeschlossen."
Gilt diese Aussage für ein spezifisches X, oder ist sie allgemein wahr?

2.) Sei A Teilmenge von Y, abgeschlossen. Kann man somit immer folgern, dass Y \ A offen ist?

3.) Die Frage mag evtl. etwas zu allgemein sein, aber: Wie zeigt man, dass eine Funktion (in einem Punkt) stetig ist?
Geht das immer über das Epsilon-Delta-Prinzip?


Herzlichen Dank für die Antworten!
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Frage 3 kann ich noch etwas konkretisieren:
Bezüglich Epsilon-Delta-Prinzip: Bei einigen Beweisen habe ich gelesen, dass Delta > 0 angenommen wird, bei anderen wird Delta noch genaer spezifiziert - genügt es i.A. aber, Delta > 0 anzunehmen?

Als Beispiel folgendes:

für j aus {1,2,...,m} ist für alle x aus stetig.

Beweis:
Da alle Normen auf äquivalent sind, gilt:

Für Epsilon > 0 ist

..aber wie gesagt, würde es auch genügen, Delta > 0 anzunehmen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Zu 2)
Eine Menge ist per Definition abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Zu 1)
Die Menge ist abgeschlossen, falls die Menge offen ist.
Dies ist zb. der Fall für oder mit der Standardmetrik.

Zu 3)
musst du in Abhängigkeit von angeben/wählen. Dabei muss natürlich sein, ansonsten stimmt es nicht mit der Definition überein.
Normalerweise muss man immer ein explizit angeben - es sei denn es versteht sich von selbst dass man das tun kann, dann wird dir niemand explizit eines hinschreiben.
Aber es muss immer so sein, dass man es im Prinzip immer explizit angeben kann.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Zitat:
Original von system-agent
Zu 1)
Die Menge ist abgeschlossen, falls die Menge offen ist.
Dies ist zb. der Fall für oder mit der Standardmetrik.


Ist eine endliche Teilmenge denn nicht immer abgeschlossen, unabhängig von der Metrik?
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Zitat:
Original von system-agent
Normalerweise muss man immer ein explizit angeben


Okey, vielen Dank!
..aber..wie bestimmt man denn normalerweise ein solches Delta? ..oftmals kommt es mir vor, als werde dieses Delta (>0) einfach aus der Luft gegriffen..
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Zitat:
Original von Timo10
Zitat:
Original von system-agent
Normalerweise muss man immer ein explizit angeben


Okey, vielen Dank!
..aber..wie bestimmt man denn normalerweise ein solches Delta? ..oftmals kommt es mir vor, als werde dieses Delta (>0) einfach aus der Luft gegriffen..


Das kannst du durch Umformungen und Abschätzungen bestimmen. Man kann zum Beispiel mit anfangen und das nach oben abschätzen, wobei gelten sollte .

Alles weitere machen wir besser an einem konkreten Beispiel.
 
 
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Fragen, Stetigkeit
Okey - ich habe auch schon einige Beispiele angeschaut, aber leider noch kein "allgemeines" gefunden, das man praktisch immer anwenden kann..

Daher würde mich ein gutes (und wenn möglich sogar allgemein anwendbares) Beispiel sehr interessieren..
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

@mathinitus
Ja, wenn man eine Topologie betrachtet die von einer Metrik kommt, dann ist wirklich jede endliche Menge abgeschlossen.
Aber in der Frage wurde nie gesagt dass ein metrischer Raum ist.


Um ein passendes zu finden, rechnet man einfach mal und formt um bis man dastehen hat (mit konstant).
Wenn man den Beweis dann aufschreibt, dann wählt man am Anfang und jeder der diesen dann liest wundert sich wieso man ausgerechnet dieses nutzt.

Wie hier ist es dann aber klar wie man zu wählen hat und dann schreibt man eben auch, dass ein passendes gefunden werden kann und belässt es dabei.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
@mathinitus
Ja, wenn man eine Topologie betrachtet die von einer Metrik kommt, dann ist wirklich jede endliche Menge abgeschlossen.
Aber in der Frage wurde nie gesagt dass ein metrischer Raum ist.


Ich dachte, wenn man von Abgeschlossenheit redet, würde das eine Metrik implizieren.

Zitat:
Original von system-agent
Um ein passendes zu finden, rechnet man einfach mal und formt um bis man dastehen hat (mit konstant).
Wenn man den Beweis dann aufschreibt, dann wählt man am Anfang und jeder der diesen dann liest wundert sich wieso man ausgerechnet dieses nutzt.


Das klappt aber nur bei Lipschitzstetigkeit.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Ich dachte, wenn man von Abgeschlossenheit redet, würde das eine Metrik implizieren.


Nein.
Um von offenen und abgeschlossenen Mengen reden zu können braucht man einen topologischen Raum. Das ist viel allgemeiner.
Die Umkehrung ist aber wahr: Falls man eine Metrik hat, dann impliziert diese eine Topologie.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Nein.
Um von offenen und abgeschlossenen Mengen reden zu können braucht man einen topologischen Raum. Das ist viel allgemeiner.
Die Umkehrung ist aber wahr: Falls man eine Metrik hat, dann impliziert diese eine Topologie.


Okay. Wieder was gelernt. Dann sollte ich mir nur einmal die Definition für "Topologischer Raum" angucken.
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »

Also versteh' ich das richtig, dass man IMMER ein wählt?
Oder ist das nur auf dieses Beispiel bezogen?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das tut man nicht immer, das ist auf dieses Beispiel bezogen bzw alle Funktionen für die das geht Augenzwinkern .
Für ganz allgemeine Funktionen gibt es keine Regel, man muss ausprobieren.
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - dann kann es also sein, dass man zu einer gleichen Funktion unterschiedliche Delta's "nehmen" kann, oder? (hatte eine Diskussion mit einem Kollegen..)


Nehmen wir als abschliessendes Beispiel die Funktion:

Diese ist stetig in x_0.
Beweis:

x_0 = 0:
Es existiert ein Epsilon > 0 und ein Delta = Epsilon : = (Epsilon)^4
-->

x_0 > 0:
Es existiert ein Epsilon > 0 und ein Delta: = (Epsilon)*x_0^4
-->

--> f stetig.

Wäre das korrekt so?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timo10
x_0 = 0:
Es existiert ein Epsilon > 0 und ein Delta = Epsilon : = (Epsilon)^4
-->


Was meinst du hier mit "Es existiert ein Epsilon > 0 und ein Delta = Epsilon : = (Epsilon)^4 " ?
Das ist falsch.

Du sollst doch nicht Epsilon wählen, sondern Delta. Ausserdem würde man hier zuerst bemerken, dass und wählt man , dann kriegt man .

Zitat:
Original von Timo10
x_0 > 0:
Es existiert ein Epsilon > 0 und ein Delta: = (Epsilon)*x_0^4
-->

--> f stetig.


Auch hier: Epsilon wird nicht gewählt, sondern Delta !
Und das letzte Gleichheitszeichen verstehe ich nicht.

Also du kriegst sicher einmal .
Nun nutze .
Beachte, dass genauso von abhängen darf.
Hier wäre so ein Fall indem ich mich nicht abmühen würde ein explizites anzugeben sondern zu argumentieren, dass man für gegebenes die Differenz so klein machen kann, dass stets gilt.

Übrigens die Unterscheidung und ist überflüssig.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timo10
Alles klar - dann kann es also sein, dass man zu einer gleichen Funktion unterschiedliche Delta's "nehmen" kann, oder? (hatte eine Diskussion mit einem Kollegen..)


Wenn du eins gefunden hast, dann klappt es natürlich auch mit jedem kleineren.
Timo10 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, ich denke, ich habe das Prinzip verstanden.

Im Grunde wäre mein Delta (sorry, nicht Epsilon, wie ich es falsch geschrieben habe) = (Epsilon)^4 auch nicht falsch gewesen, sondern einfach eine schlechte Abschätzung, oder?

Man rechnet und formt also ein wenig umher, damit man eine passende Abschätzung für Delta findet.
Hättest du evtl. ein Beispiel, bei dem man dieses Delta konkret abschätzen kann (hier war das ja nicht möglich bzw. mit der richtigen Argumentation nicht nötig..)
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