Differentialquotienten bestimmen

29.08.2010, 14:51

minemäuschen

Differentialquotienten bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3}-2x^{2} ; x0=2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe so angefangen:
$\begin{eqnarray*} f'(2)=\lim_{x \to 2} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} = \lim_{x \to 2}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\lim_{x \to 2} \frac{(2+h)^3-(2x0+h)^2}{h} \end{eqnarray*}$

leider komme ich nicht weiter oder weiß ob ich die Aufgabe überhaupt richtig löse...
Danke schon mal für eure Hilfe!!!

29.08.2010, 14:55

Cel

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Hmm ... du vermischst hier die x- und die h-Methode. Kennst du die Polynomdivision? Dann würde ich dir die x-Methode ans Herz legen. Ansonsten solltest du sauber und korrekt aufschreiben, wie der Differenzenquotient definiert ist.

29.08.2010, 15:01

minemäuschen

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Das ganze Problem ist schon mal das ich überhaupt nicht weiß wie ich an diese Aufgabe herrangehen soll, da mein Mathe-Lehrer es nicht für nötig hält dieses Thema zu erklären er hat einfach gemeint wir sollen die aufgabe mit dieser Formel:
$\begin{eqnarray*} f'(x0)=\lim_{x\to 2} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \end{eqnarray*}$ berechnen

29.08.2010, 15:09

Cel

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Zitat:

Original von minemäuschen
Das ganze Problem ist schon mal das ich überhaupt nicht weiß wie ich an diese Aufgabe herrangehen soll, da mein Mathe-Lehrer es nicht für nötig hält dieses Thema zu erklären er hat einfach gemeint wir sollen die aufgabe mit dieser Formel:
$\begin{eqnarray*} f'(x0)=\lim_{x\to 2} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \end{eqnarray*}$ berechnen

Bestimmt nicht. Wenn, dann mit dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Beachte: Bei mir läuft h gegen 0, bei dir x gegen 2 (bzw. gegen x_0).

Es gibt aber auch noch eine andere Formel, nämlich diese:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt erst mal herausfinden, welche Formel ihr nehmen sollt. Deshalb noch mal meine Frage: Kennst du die Polynomdivision?

29.08.2010, 15:11

minemäuschen

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Ja ich kenen die Polynomdivision...
tschuldigung hab mich verguggt es müsste h->2 heißen...

29.08.2010, 15:26

Cel

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Zitat:

Original von minemäuschen
Ja ich kenen die Polynomdivision...
tschuldigung hab mich verguggt es müsste h->2 heißen...

Nein. Es muss h -> 0 heißen. Fangen wir einfach mal an, mit der Methode mit dem h. Dafür brauchen wir keine Polynomdivision.

Also: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - 2x^2, x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Was müssen wir lösen? Das:

$\begin{eqnarray*} f'(2)=\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \end{eqnarray*}$

Schreib erst mal sauber den Bruch auf, indem du eben 2 und (2+h) einsetzt. Dann geht es weiter.

29.08.2010, 15:38

minemäuschen

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ok ...
jetzt hab ich die 2+h und die 2 eingesetzt
kann es sein, dass es so weiter geht:
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3-2*(2+h)^2-2^3-2*2^2}{h} \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 15:46

Cel

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Vergiss die Klammern nicht!

So ist es richtig. Und was ergibt die hintere Klammer? 0.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3-2*(2+h)^2-(\overbrace{2^3-2*2^2}^{=0})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3-2*(2+h)^2}{h} \end{eqnarray*}$

So, dann löse doch mal die Klammern oben auf. Dafür brauchst du die binomischen Formeln. Hier findest du die Formel für (a+b)^3, wenn du sie noch nicht kennst.

29.08.2010, 15:55

minemäuschen

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kann ich die Klammern oben auch mit dem Pascal'schen Dreieck auflösen also so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{(2^3+3*2^2h+3*2h^2+h^3)-2*(2^2+2*2h+h^2)}{h} \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 16:01

Cel

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Ja, wunderbar. Jetzt musst du im Zähler so weit wie möglich zusammenfassen.

29.08.2010, 16:10

minemäuschen

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habe jetzt die Klammern ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{8+12h+6h^2+h^3-8-8h-2h^2}{h} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich mit h gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 4+4h+h^2 \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 16:15

Cel

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Ja, und weiter? Was passiert, wenn h gegen 0 geht? Dann bist du schon fertig.

29.08.2010, 16:17

minemäuschen

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Das Ergebnis ist 8 oder?

29.08.2010, 16:20

Cel

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Nein, wie kommst du darauf, wenn doch h gegen 0 geht?

29.08.2010, 16:24

minemäuschen

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achsooo ich muss alles was mit h ist wegstreichen weil ja 4*h=0...ok dann ist es 4

29.08.2010, 16:25

Cel

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Zitat:

Original von minemäuschen
achsooo ich muss alles was mit h ist wegstreichen weil ja 4*h=0...ok dann ist es 4

Umgangssprachlich kann man das durchaus so sagen. Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f'(2) = 4 \end{eqnarray*}$ , richtig! Freude

29.08.2010, 16:31

minemäuschen

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DANKESCHÖN!!! Blumen

jetzt hab ich noch eine Frage smile

weil ich glaube, dass meine andere Aufgabe dann auch falsch ist:

f(x)=x^3-2 ;x0=-2
$\begin{eqnarray*} f'(-2)=\lim_{h \to -2} \frac{(-2+h)^3-(-2)^3}{h} =\frac{-8+3*4h-6h^2+h^3+8}{h} =12-6h+h^2 =28 \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 16:36

Cel

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Die Umformungen scheinen zu stimmen, aber noch mal (zum dritten Mal Augenzwinkern

). h geht gegen 0. Nicht gegen x_0.

29.08.2010, 16:40

minemäuschen

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ok tschuldigung für meinen wiederholten Fehler... liegt daran, dass ich Mathe Leistungskurs habe (ich weiß die falsche Wahl) und der neben mir (wiederholt die 12.) meinte, dass h dann gegen -2 gehen müsste ... aber jetzt bin ich ja eines besseren belehrt worden
DANKE!!!

29.08.2010, 16:45

Cel

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Guck dir noch mal meinen zweiten Beitrag an, es gibt noch eine andere Methode, wo x gegen x_0 geht. Wenn h vorkommt, geht das gegen 0.

29.08.2010, 16:47

minemäuschen

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ok ... jetzt hab ich das auch verstanden Big Laugh

Dankeschön smile

29.08.2010, 16:52

Iorek

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Vllt. noch als formale Anmerkung:
$\begin{eqnarray*} f'(-2)=\lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)^3-(-2)^3}{h} =\frac{-8+3*4h-6h^2+h^3+8}{h} =12-6h+h^2 =28 \end{eqnarray*}$

Bevor du nicht den Grenzübergang machst, solltest du $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ mitschleppen, das ist sonst ein Fehler.

$\begin{eqnarray*} f'(-2)=\lim_{h \to 0} \frac{(-2+h)^3-(-2)^3}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{-8+3*4h-6h^2+h^3+8}{h} =\lim_{h \to 0} 12-6h+h^2 =28 \end{eqnarray*}$

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