Termumformung (rational machen des Nenners, Vereinfachung)

30.08.2010, 09:06	mathemanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung (rational machen des Nenners, Vereinfachung) Guten Morgen, hänge gerade an einer - wahrscheinlich simplen - Aufgabe. Selbst die Lösung ist gegeben, allerdings verstehe ich einen Umformungsschritt nicht und hoffe auf eure Hilfe. Es geht darum, in der folgenden Gleichung den Nenner rational zu machen und den Term weitestgehend zu vereinfachen: $\begin{eqnarray} \frac{128}{\sqrt[3]{16a}} \end{eqnarray}$ Die Gleichung wird nun umgeformt zu: $\begin{eqnarray} \frac{8(\sqrt[3]{16a})^2}{a} \end{eqnarray}$ Bis dahin ist mir das klar. Es wird zunächst erweitert und dann noch gekürzt. Im folgenden und letzten Schritt kommt der Autor jedoch zu folgender Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{8\sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{a}} \end{eqnarray}$ Mal abgesehen davon, dass die Aufgabenstellung vorsieht, den Nenner rational zu machen, was ja mit dieser Lösung nicht der Fall ist, sind mir die Umformungsschritte vom vorletzten zum letzten Term nicht verständlich. Dass die 256 sich dadurch ergibt, dass man den hinter der Klammer stehenden Exponenten unter die Wurzel ziehen kann, erschließt sich mir noch. Wie jedoch im Nenner plötzlich wieder die dritte Wurzel auftaucht und wohin das a aus dem Zähler verschwindet, ist mir ein Rätsel. Mit der Bitte um Hilfe mathemanie
30.08.2010, 09:22	addor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung (rational machen des Nenners, Vereinfachung) Zunächst ist $\begin{eqnarray} \sqrt{xy}= \sqrt{x}\sqrt{y} \end{eqnarray}$ Und schliesslich hilft vielleicht $\begin{eqnarray} a=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{a} \end{eqnarray}$
30.08.2010, 09:34	mathemanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zwischenschritt, der sich mir nicht erschloss, sähe also wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \frac{8\sqrt[3]{256}(\sqrt[3]{a})^2}{(\sqrt[3]{a})^3} \end{eqnarray}$ Nun nur noch kürzen und man kommt zum angestrebten Ergebnis. Vielen Dank für den Denkanstoß! Gruß mathemanie
30.08.2010, 19:20	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es nicht sinnvoller so zu erweitern? $\begin{eqnarray} \frac{128}{\sqrt[3]{16a}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{128\sqrt[3]{16a}\sqrt[3]{16a}}{\sqrt[3]{16a}\sqrt[3]{16a}\sqrt[3]{16a}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{128(\sqrt[3]{16a})^2}{\sqrt[3]{16^3a^3}} \end{eqnarray}$ usw... ?
30.08.2010, 19:24	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das wurde doch gemacht, um von hier: $\begin{eqnarray} \frac{128}{\sqrt[3]{16a}} \end{eqnarray}$ nach da: $\begin{eqnarray} \frac{8(\sqrt[3]{16a})^2}{a} \end{eqnarray*}$ zu kommen.
30.08.2010, 19:43	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, stimmt. Mir fehlt noch die Weitsichtigkeit...
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