Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

30.08.2010, 12:02

Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

Hallo,
ich komme bei einer Übungsaufgabe überhaupt nicht weiter.
Ich soll alle a aus den Reellen Zahlen finden, für die der
Limes x->2 von [ (1/2-x) - (a/4-x^2)] existiert.

Ich weiß, dass es da so eine Regel mit Ableitungen von Funktionen bei Quotienten gibt, aber die haben wir offiziell noch nicht durchgenommen, wi sollen das also wohl durch Termumformungen zeigen. Ich habe versucht erstmel einen Nenner zu finden, der nicht gegen Null konvergiert. Ist das der richtige Ansatz?

Vielleicht hat jemand Beispiele mit Lösungen zu solchen Termumformungen, damit ich das mal üben kann?

Grüße,
le

30.08.2010, 12:15

corvus

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

Zitat:

Original von le

Ich soll alle a aus den Reellen Zahlen finden, für die der
Limes x->2 von [ (1/2-x) - (a/4-x^2)] geschockt

existiert.

1) habt ihr auch noch nicht durchgenommen, wie man Klammern richtg setzt?

2) überlege: für welches a könnte dieser Grenzwert existieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{2-a+x}{4-x^2} \end{eqnarray*}$

.

30.08.2010, 12:23

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
Ich habe noch etwas rumprobiert.
Stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} [(1/2-x)- (a/4-x^2)]<br /> =\lim_{x \to 2} [2+x-a/(2+x)(2-x)]=\lim_{x \to 2} [-(-2+a-x/(2+x)(2-x)] \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich mir überlegt, dass ich im Nenner ja etwas stehen haben will, das gegen eine reelle Zahl konvergiert. Für a=4 kann man (2-x) herauskürzen und dann ist das Ganze einfach:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} [- 1/2+x]=-1/4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? ISt a=4 die einzige reelle Zahl, für die dann der Limes existiert?

30.08.2010, 12:33

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
danke corvus.
ich werde mich in Zukunft bemühen die Klammern richtig zu setzen und den Formeleditor zu benutzen. smile

Wieso soll ich zuerst ein a suchen für den der Limes des Teilausdruckes existiert? Dann existiert der Limes des ganzen Ausdruckes doch noch nicht?
Ist meine Herangehensweise falsch?

30.08.2010, 13:39

Kühlkiste

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
Wie wär's mit einer ganz gewöhnlichen Grenzwertuntersuchung?

Betrachte dazu zunächst:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2-x}-\frac a{4-x^2}=\frac{2+x-a}{(2-x)(2+x)}=\frac{2+x-a-4+4}{(2-x)(2+x)}=\frac{x-2-a+4}{(2-x)(2+x)}=\frac 1{2+x}\cdot\left(\frac{4-a}{2-x}-1\right). \end{eqnarray*}$

Laut Grenzwertsätzen bleibt jetzt nur noch die Frage zu klären, wie das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aussehen muss damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2}\frac {4-a}{2-x} \end{eqnarray*}$ existiert...?

30.08.2010, 17:12

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
danke kühlkiste. so ungefähr hab ich das oben ja auch gemacht. (man sieht es nur vermutlich schlecht, weil es nicht mit dem Formeleditor geschrieben ist.)
Bei deiner Berechnung würde ich weiterüberlegen, dass a=4 sein muss. Der Grenzwert des gesamten Ausdruckes wäre damit $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ .
Köme also das gleiche raus wie bei meiner Berechnung oben. Richtig?

30.08.2010, 20:58

martha.1981

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Wie kommst'n darauf?

Ich hab' da auch nochmal eine grundlegende Frage für die ich mich fast schon schäme aber, muss ich klären.

Wenn ich sowas wie oben habe, und den Term so roh stur x gegen 2 laufen lassen würde, käme ja eine div durch 0 dabei heraus. Jetzt forme ich BEVOR ich den Grenzwerte berechne um, dann passt es plötzlich. Das würde ja bedeuten ich habe ein a und das ist gleich b und dennoch ich lim(a) nicht gleich lim(b). Wieso?

Grüße

30.08.2010, 22:33

Lehrer

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

Zitat:

Original von le
[...] dass a=4 sein muss. Der Grenzwert des gesamten Ausdruckes wäre damit $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ .

..überdenk das nochmals!

Und beginn die Rechnung nochmals von Anfang an - Kühlkiste hat dir ja praktisch schon alles hingeschrieben.

02.09.2010, 20:50

Leo2010

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
Ich hätte eine ganz allgemeine Frage hierzu:
Was muss denn gelten, dass ein Grenzwert existiert? ..wenn hier a=4 ist, so wäre der Zähler ja 0, sprich der Grenzwert wäre 0.

02.09.2010, 23:06

corvus

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

Zitat:

Original von Leo2010
Ich hätte eine ganz allgemeine Frage hierzu:
Was muss denn gelten, dass ein Grenzwert existiert?
..wenn hier a=4 ist, so wäre der Zähler ja 0, sprich der Grenzwert wäre 0 unglücklich

du hast vergessen, im Falle a=4 nachzuschauen, welchen Wert der Nenner (wenn dann x->2) gleichzeitig hat :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{2-a+x}{4-x^2} \end{eqnarray*}$

Wink

02.09.2010, 23:41

Leo2010

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht
Ja eben, der Nenner hätte dann, wie der Zähler, Wert 0, d.h., dass der Grenzwert dann 0 wäre, oder?

..oder existiert der Grenzwert gar nicht (Division durch 0), womit a beliebig gewählt werden könnte?

03.09.2010, 09:03

Kühlkiste

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RE: Grenzwerte von Funktionen berechnen, Hilfe und Beispiele gesucht

Zitat:

Original von Leo2010
Ja eben, der Nenner hätte dann, wie der Zähler, Wert 0, d.h., dass der Grenzwert dann 0 wäre, oder?

Nein!

Betrachte z.B. mal: $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ und lass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ laufen.

Dann gehen ebenfalls Nenner und Zähler jeweils gegen 0.

Dennoch existiert der Grenzwert, denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac 1{x+1}\stackrel{x\to 1}{\longrightarrow} \frac 12 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Leo2010
..oder existiert der Grenzwert gar nicht (Division durch 0), womit a beliebig gewählt werden könnte?

Unsinn!

Wegen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2}\frac 1{x-2}=\infty \end{eqnarray*}$

gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so daß

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2}\left((4-a)\cdot\frac 1{2-x}\right) \end{eqnarray*}$

existiert.

20.09.2010, 11:12

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Hallo,
ich habe das immer mal wieder überdacht, aber ich komme immer noch auf a=4, auch wenn der Grenzwert natürlich -(1/2) sein müsste, nicht -(1/4).

Ist das so richtig, oder ist die Nanahme a=4 falsch? Ich bin so vorgegangen:
Ich muss ja den Term 2-x verschwinden lassen, damit ich eine Konvergenz bekomme. Rauskürzen geht nicht. Wenn der Zähler jetzt aber Null ist (was bei a=4 der Fall ist), dann verschwindet der ganze Bruch.
Wenn ich a=4 einsetzte sieht das für mich auch richtig aus...

Danke schon mal für eure Hilfen!

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