Taylorreihe 1/cosx

30.08.2010, 12:50

TH0R

Taylorreihe 1/cosx

hi

ich muss eine Taylorenwicklung durchführen.

T5(1/cosx) mit x0=0

Nun soll ich dies mit vorhandenen Taylorreihen machen.

für cosx gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0} (-1)^{n} \frac{x^{2n} }{(2n!)} \end{eqnarray*}$

Wie oder mit was muss ich diese Taylorreihe kombinieren um auf das Ergebnis zu kommen:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{25} x^{4} +... \end{eqnarray*}$

Und worauf muss ich achten wenn ich Taylorreihen zusammen setze hinsichtlich Reihenfolge oder sonstiges ?

Danke

30.08.2010, 13:02

Stefan03

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$\begin{eqnarray*} \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

Damit sollte es gehen, oder?

Hat aber damit nix zu tun smile

sry....Wollte eigentlich schon mit $\begin{eqnarray*} e^{ix} \end{eqnarray*}$ ...schreiben, aber hab ich wohl nicht gemacht

30.08.2010, 13:03

Equester

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es muss heißen ...5/24...
Und die Fakultät kommt hinter die Klammer.

Aber das wird dir hier sicher auch nochmals gesagt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Taylorpolynom-1cosx

Crossposting ist nicht gern gesehen unglücklich

30.08.2010, 13:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von StefanB
$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ und was hat das mit der Aufgabe zu tun?

30.08.2010, 13:13

TH0R

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sorry wenn ich es noch woanders gepostet habe, aber ich brauche schnell eine antwort bzw. wie man diese bestehenden standard taylorreihen zusammensetzt.

ja stimmt ich sehe es ich meinte auch 5/24.

inwiefern hat denn das cosh damit zu tun und da ich die aufhabe mit bestehenden lösen soll geht das dann nicht mit einer kombination von cosx mit etwas anderem ?

Es gibt doch z.b auch cos(ln(1+x)) mit x0=0 und da setze ich doch auch die reihe vom ln in cos ein für x.

auf was muss ich da beim ablauf un der reihen folge beim einsetzen achten und geht das nicht auch mit 1/cosx

30.08.2010, 13:17

nils mathe lk hems

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also ich hab mal ne aufgabe gehabt, da wurde der nenner "substituiert" ( wenn das jetzt der richtige ausdruck ist ) und dann hat man 1/t mehrmals abgeleitet und daraus eine taylorreihe gemacht in welche man das hier jeweils eingesetzt hat.

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{25} x^{4} +... \end{eqnarray*}$

30.08.2010, 13:25

Leopold

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Du mußt schlicht die Reihendivision

$\begin{eqnarray*} 1 \ : \ \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \ldots \right) \end{eqnarray*}$

durchführen. Das geht im Prinzip wie eine Polynomdivision. Beim Multiplizieren brauchst du jeweils nur so viele Glieder zu berücksichtigen, daß du die nachfolgende Subtraktion ausführen kannst.

Oder etwas formaler einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten. Offenbar stellt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x} \end{eqnarray*}$ eine gerade Funktion dar. Deswegen kannst du den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos x} = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \ldots \end{eqnarray*}$

nehmen. Jetzt Reihenmultiplikation und Koeffizientenvergleich: $\begin{eqnarray*} \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \mp \ldots \right) \cdot \left( a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \ldots \right) = 1 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^4 + \ldots \end{eqnarray*}$

30.08.2010, 15:12

TH0R

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1/cos(x) = 1/(1-(1-cos(x))

kann man das so darstellen?
muss ich diese form dann immer weiter ableiten un dann in

Tmf(x)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}\frac{f(x)}{n!} * (x-x0)^{n} \end{eqnarray*}$ einsetzen ?

1.Wie dividiere ich denn 1/Reihe ?
oder
geht das auch wenn ich annehme $\begin{eqnarray*} 1/x \end{eqnarray*}$ und das ableite zu $\begin{eqnarray*} -1/x^2 \end{eqnarray*}$ und dann cosx einsetze ? Nur was muss ich dann von der Reihe einsetzen ?

irgendwie stehe ich glaub ich auf dem schlauch.

2.vielleicht könnt ihr mir das auch im verbindung mit dem beispiel $\begin{eqnarray*} cos(ln (1+x)) \end{eqnarray*}$ erklären.

da gibt es ja beide Reihen, wie muss ich die verbinden ?
nehme ich dann cos(u) an und u=ln(1+x) und leite cos immer ab und setze dann u ein ?
$\begin{eqnarray*} cosx= \sum 1-x^2/2+x^4/24+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(1+x)= \sum x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+... \end{eqnarray*}$
setze ich dann die komplette reihe ein oder nehme ich dann nur den wert für das entsprechende n ? wegen a0,a1,a2 usw. ?

30.08.2010, 15:26

nils mathe lk hems

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das erste mit $\begin{eqnarray*} -1/x^2 \end{eqnarray*}$ is schon richtig so!
dort setzt du dann für x^2 immer in klammern $\begin{eqnarray*} 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{25} x^{4} +... \end{eqnarray*}$ ein

30.08.2010, 15:30

TH0R

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
das erste mit $\begin{eqnarray*} -1/x^2 \end{eqnarray*}$ is schon richtig so!
dort setzt du dann für x^2 immer in klammern $\begin{eqnarray*} 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5}{25} x^{4} +... \end{eqnarray*}$ ein

meinst du mit der reihe cosx bis t5 erreicht ist ?

und oben meine lösung muss 4/24x^4 sein.

cosx=1-x^2/2+x^4/24 wäre ja das

30.08.2010, 15:43

nils mathe lk hems

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oh ja ich hab jetzt das "alternierende" vergessen
also nochmal $\begin{eqnarray*} 1-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{24} x^{4} +... \end{eqnarray*}$ ein

jetzt das 1/x die ableitungen machen...
dann für die x immer das cosx von oben einsetzen und die taylorreihe aufschreiben...
das is ja dann nurnoch einsetzen in die formel

30.08.2010, 16:07

TH0R

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ich habe dann also da T5

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}-\frac{6}{x^4}+\frac{24}{x^5} \end{eqnarray*}$

das wäre dann 5 mal abgeleitet 1/x

und dann setze ich für x die Reihe von cosx bei T5 ein das wäre

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \end{eqnarray*}$

und dann sollte das ergebnis herrauskommen ?

30.08.2010, 16:24

nils mathe lk hems

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Zitat:

Original von TH0R
ich habe dann also da T5

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}-\frac{6}{x^4}+\frac{24}{x^5} \end{eqnarray*}$

das wäre dann 5 mal abgeleitet 1/x

und dann setze ich für x die Reihe von cosx bei T5 ein das wäre

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \end{eqnarray*}$

und dann sollte das ergebnis herrauskommen ?

so war es bei meiner aufgabe in der lösung beschrieben.
damals wars 1/sinx aber das ist ja das gleiche nur mim sin...

das dürfte hier so aussehen denke ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}}-\frac{1}{(1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24})^2 } ... \end{eqnarray*}$

30.08.2010, 16:45

TH0R

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ok wunderbar und alles was dann ein x größer dem T5 hat kann ich dann weglassen ?

30.08.2010, 17:31

nils mathe lk hems

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jop du sollst ja nur bis T5 berechnen
das eins größer ist dann restglied bestimmung, die dann in der regel kleiner gleich 1/10 oder 1/100 ist

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