Ist die Schnitt von Topologien wieder ein Topologie?

30.08.2010, 15:40	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Schnitt von Topologien wieder ein Topologie? Hallo, also ich möchte gerne wissen, ob der Schnitt von Topologien wieder eine Topologie is, so ganz allgemein... Ich glaube eigentlich schon. Die leere und die volle Menge sind aufjedenfall in allen Topologien drin also auch im Schnitt. Und bei den Durchschnitten und Vereinigungen müsste es eigentlich auch funktionieren oder? Aber die Vereinigung von Topologien ist i.A. keine Topologie, oder? Das funktioniert wahrscheinlich bei den Schnitten und/oder Vereinigungen nicht.
30.08.2010, 15:48	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist die Schnitt von Topologien wieder ein Topologie? Eine Topologie ist ein Mengensystem das stabil bzgl. beliebiger Vereinigungen und bzgl. endlicher Schnitte ist. Wenn du jetzt 2 Topologien T_1 und T_2 schneidest. Dann gilt, dass für alle Mengen (A_i)_{i \in I} A_i sowohl in T_1 und in T_2 liegen. Was heißt das für ihre Vereinigungen für beliebige I und für ihren Durchschnitt für endliche I ? (Ja ... eigentlich trivial) Wenn du meinst das die Vereinigung zweier Topologien nicht zwingend wieder eine ist, dann wiederlege es mit einem Gegenbeispiel. Dafür reichen schon zwei Topologien die je nur zwei Elemente(Mengen) enthalten.
30.08.2010, 15:59	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist die Schnitt von Topologien wieder ein Topologie? Naja, eigentlich ist mir das alles schon klar, ich will nur nochmal sicher gehen nicht irgendwas übersehen zu haben oder so. Bei dem Schnitt von Topologien geht es mir halt auch nicht nur um endlich viele Topologien sondern um beliebig viele... (evtl auch überabzählbar viele) Ok ein Gegenbeispiel dürfte ich hinkriegen... Nehmen wir die Natürlichen Zahlen als Grundmenge und die Topologien $\begin{eqnarray} T_1 = \left\{ \emptyset, \left\{ 1\right\}, \mathbb N \right\}, T_2 = \left\{ \emptyset, \left\{ 2\right\}, \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ Dann erhalten wir $\begin{eqnarray} T_1\cup T_2 = \left\{ \emptyset,\left\{ 1\right\} \left\{ 2\right\}, \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ und das ist keine Topologie. Aber das eigentlich nur nebenbei, die Frage mit den Schnitten ist die die mich wesentlich mehr interessiert.
30.08.2010, 17:50	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Natürlich ist der Schnitt beliebig vieler Topologien auch wieder eine Topologie. Der Beweis verläuft genau gleich wie der für endliche viele Topologien...

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