Eigenwerte einer idempotent Matirx

30.08.2010, 14:47	agirl	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer idempotent Matirx Meine Frage: Die Eigenwerte einer idempotente Matrix sind allesamt 0 oder 1. wie zu zeigen? Ich habe schon gezeigt, \prod_{i=1}^n\lambda_i=operatorname{det}\:A gleich 1 oder 0. Meine Ideen: wie zu zeigen? Ich habe schon gezeigt, \prod_{i=1}^n\lambda_i=operatorname{det}\:A gleich 1 oder 0. aber ich weisse nicht , wie ich weitermachen soll.
30.08.2010, 15:17	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Ansatz verstehe ich nicht. Versuch es doch folgendermaßen: Nimm dir einen Eigenvektor her zu einem gegeben Eigenwert. Das erfüllt ja dann sowas wie $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt in diese Gleichung die Beziehung einsetzst, die das A ja idempotant macht, was erhälst du dann für eine Gleichung?
30.08.2010, 17:11	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder ein völlig anderer Ansatz: Es gilt $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ , also teilt das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ das Polynom $\begin{eqnarray} X^2-X \end{eqnarray}$ .

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