Binomialkoeffizienten - Kürzen

30.08.2010, 17:16	LolloRosso	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizienten - Kürzen Meine Frage: Guten Abend, meine Frage ist recht kurz und simpel: Warum kann man "n über k" eigentlich immer kürzen? Wieso kommt nie ein Bruch heraus? Mir ist klar, dass es in Stochastikaufgaben keine vier einhalb Möglichkeiten geben kann, aber wie sehe ich das an der bloßen Formel? Meine Ideen: Mit den Variablen n und k habe ich das versucht auszuformulieren, kann aber nicht kürzen bzw. nicht so, dass alles im Nenner verschwindet. Kann mir jemand vielleicht einen kleinen Denkanschubser geben?
30.08.2010, 17:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Aussage " $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ ist für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (und k <= n) ganzzahlig" mit vollständiger Induktion beweisen. Kennst du die vollständige Induktion?
30.08.2010, 17:58	LolloRosso	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die vollständige Induktion haben wir um Unterricht nicht behandelt, sie ist mir aber als Beweisverfahren namentlich bekannt, habe mich sogar schon einmal ein bisschen damit beschäftigt. Müsste ich mir das nun aneignen, um kürzen zu können oder gehts auch anders? Liebe Grüße
31.08.2010, 09:36	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss man einfach gesehen haben (finde ich). Allein aus Büchern habe ich es in der Schulzeit nie begriffen. Oft wird sie auch Dreistufig (Anfang, Voraussetzung, Schritt) gemacht. Es genügen eigentlich die Stufen Anfang und Schritt. Ich hoffe das hilft: Man will die Aussage für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ beweisen. Erstmal formal festlegen was $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ sein dürfen: $\begin{eqnarray} k,n \in \mathbb{N} \ ; \ k \leq n \end{eqnarray}$ Jetzt fängt man an und beweist die Aussage ganz konkret für ein bestimmtes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} {1 \choose k} = \begin{cases} {1 \choose 0} = \frac{1!}{0!1!} = \frac{1}{1\cdot 1}=1 \in \mathbb{N} \\ {1 \choose 1} = \frac{1!}{1!0!} = 1 \in \mathbb{N} \end{cases} \end{eqnarray}$ (Induktionsanfang) Jetzt sagt man: "Wenn ich es hinkriege allgemein zu beweisen: Wenn die Aussage für ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt sie auch für das folgende $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ , dann ist sie für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ bewiesen!" Weil man ja dann aus dem "neu bewiesenen" $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ gleich weitermachen könnte (auf die selbe Art) und $\begin{eqnarray} n+2 \end{eqnarray}$ beweisen könnte, dann $\begin{eqnarray} n+3 \end{eqnarray}$ , usw. Ich muss nur ein einziges $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ finden, wo ich mit dem Schließen von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ ansetzen kann. Also ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , für das die Aussage gilt. Das habe ich im Induktionsanfang schon durch Beweis "zu Fuß" gefunden. Oft hält man hier formell fest: Ich nehme an: Die Aussage gelte für ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} {n \choose k} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ (Induktionsannahme / Induktionsvoraussetzung) Und dann kommt die eigentliche Arbeit. Man will zeigen, dass unter der Voraussetzung die Aussage gilt für ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Aussage dann auch für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ gilt. (Induktionsschluss). $\begin{eqnarray} {n+1 \choose k} = ... \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Hierbei muss dann irgendwo die Voraussetzung auftauchen, dass die Aussage bereits gilt für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Das darfst du (wenn du willst) jetzt mal durchkauen. Unbedingt ans Pascal'sche Dreieck denken!

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