Polynomaufgabe

30.08.2010, 18:22

Minus

Polynomaufgabe

Es handelt sich um eine Polynomaufgabe aus der zweiten Runde der Matheolympiade vor 13 Jahren:

$\begin{eqnarray*} 371323 \end{eqnarray*}$ :
Man soll alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ finden, die folgenden Bedingungen genügen:
Für die durch $\begin{eqnarray*} p(x)=x³-ax²+bx-c \end{eqnarray*}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gelten die Gleichungen $\begin{eqnarray*} p(a)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p(b)=0 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} p(c)=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich würde die Nullstellen der Funktion bestimmen. Diese sind dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Ich habe erst versucht den Satz von Vieta auf die Polynome dritten Grades zu erweitern, was mich auf $\begin{eqnarray*} c=x_{1}*x_{2}*x_{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=x_{1}*x_{2} +x_{3}* x_{1} +x_{2} *x_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=x_{1} +x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$ gebracht hat, was wahrscheinlich nicht richtig ist.

Ich hatte noch andere Ansätze, doch die haben mir auch nichts gebracht.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich ansetzen kann ?

30.08.2010, 18:42

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polynomaufgabe
Du könntest einarbeiten, dass die Koeffizienten wirklich die Nullstellen sind.

31.08.2010, 08:03

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polynomaufgabe

Zitat:

Original von Minus
Ich würde die Nullstellen der Funktion bestimmen. Diese sind dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Ich habe erst versucht den Satz von Vieta auf die Polynome dritten Grades zu erweitern

Generell eine gute Idee. Aber aufpassen: a,b,c müssen nicht verschieden sein, sind also im Allgemeinen nicht alle Nullstellen des Polynoms.

31.08.2010, 14:45

Minus

Auf diesen Beitrag antworten »

Heute nacht ist mir ein guter Ansatz eingefallen. Schade, dass es immer dann passiert, wenn man entspannt ist und nicht an Mathe denkt. Wenn ich 1 Stunde Zeit für die Aufgabe hätte, würde ich sie wahrscheinlich nicht lösen.

Also:

$\begin{eqnarray*} a=x_{1} +x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} b=x_{1}*x_{2} +x_{3}* x_{1} +x_{2} *x_{3} \end{eqnarray*}$ (2)
$\begin{eqnarray*} c=x_{1}*x_{2}*x_{3} \end{eqnarray*}$ . (3)

Da $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2},x_{3} \end{eqnarray*}$ Symmetrisch sind könnte man annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a=x_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=x_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{1} +x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 0=x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$ usw.
Dann habe ich Fallunterscheidung gemacht und bin auf folgende Ergebnisse gekommen:

$\begin{eqnarray*} a=0, b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine beliebige Zahl ist, $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Sind das alle Lösungen ?
Und wie könnte man die Aufgabe anders lösen, wenn man den Satz von Vieta nicht erweitern kann ?

31.08.2010, 16:35

pandu1

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weitere Lösung ist : A=1 B=1 und C=1

01.09.2010, 07:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar etwas mühsam, aber mit einer Fallunterscheidung ist das ganze kein Problem:

1. Fall: a=b=c

2. Fall a=b

3. Fall: b=c

4. Fall: a=c

5. Fall a,b,c paarweise verschieden.

Die Fälle sind zwar nicht disjunkt, aber vollständig, d.h. man erhält so wirklich alle Lösungen.

Deutlicher einfacher wird es, wenn man sich auf ganze Zahlen reduziert. Dann kann man sofort sehen, dass a und b c teilen und weiterhin, dass c nur -1, 0 oder 1 sein kann.

D.h. aber, man muss nur den einfachen Fall c=0 betrachten, sowie alle Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} a,b,c = 1, -1 \end{eqnarray*}$ ausprobieren und das sind ja nur 8.

01.09.2010, 08:50

pandu1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polynomaufgabe
Ich würde die a,b und c hintereinander in das Polynom einsetzen:
$\begin{eqnarray*} P(a)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^3-a^3+ba-c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(b)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b^3-ab^2+b^2-c=0 \end{eqnarray*}$
hier können wir das gerade gefundene ab=c einsetzen
$\begin{eqnarray*} b^3-bc+b^2-c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b(b^2-c)+(b^2-c)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b+1)(b^2-c)=0 \end{eqnarray*}$

Hier gibt es folgende Möglichkeiten:
$\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$
mit ab=c ist dann a=-c
$\begin{eqnarray*} b^2=c \end{eqnarray*}$
mit ab=c ist entweder b=0 und c=0 oder a=b

und zum Schluß noch $\begin{eqnarray*} P(c)=0 \end{eqnarray*}$ auswerten

09.09.2010, 17:59

Minus

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe hier:

$\begin{eqnarray*} a=x_{1} +x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} b=x_{1}*x_{2} +x_{3}* x_{1} +x_{2} *x_{3} \end{eqnarray*}$ (2)
$\begin{eqnarray*} c=x_{1}*x_{2}*x_{3} \end{eqnarray*}$ . (3)

mehrere Vorzeichenfehler gemacht, weil ich auf die falschen Ergebnisse komme.

Ich glaube, es muss in Wirklichkeit so heißen:

$\begin{eqnarray*} -a=x_{1} +x_{2} +x_{3} \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} b=x_{1}*x_{2} +x_{3}* x_{1} +x_{2} *x_{3} \end{eqnarray*}$ (2)
$\begin{eqnarray*} -c=x_{1}*x_{2}*x_{3} \end{eqnarray*}$ . (3)

Ist das richtig ?

Neue Frage »

Antworten »

Polynomaufgabe

Verwandte Themen