Umkehrfunktion

06.11.2006, 18:42

Kira 007

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Umkehrfunktion

Hallo zusammen

$\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=x^y/log{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_x{3}=log{x}x^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_x{3}=y \end{eqnarray*}$

wäre die Umkehrfunktion richtig berechnet ?

Gruß Kira

06.11.2006, 18:49

Geistermeister

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Ich habe einen Fehler bei dir entdeckt:
$\begin{eqnarray*} y = x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log_{x}y = log_{x}x^{3} \end{eqnarray*}$

So einfach geht das!
Und Logarithmus von x^3 zur Basis x ist dann 3.

06.11.2006, 18:58

Kira 007

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Ich weiß jetzt nicht genau wo mein fehler liegt

habe das zwar verstanden aber wechsel ich nicht anfangs die Basis und den Exponenten

$\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=x^y \end{eqnarray*}$ bei den anderen Aufgaben habe ich das immer so gemacht ?

Gruß Kira

06.11.2006, 19:45

derkoch

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RE: Umkehrfunktion

Zitat:

Original von Kira 007
Hallo zusammen

$\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3=x^y/log{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_x{3}=log{x}x^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_x{3}=y \end{eqnarray*}$

wäre die Umkehrfunktion richtig berechnet ?

Gruß Kira

ich behaupte mal ganz dreist, wenn deine überschrift UMKEHRFUNKTION ist, dann ist deine rechenung absolut nicht nachvollziehbar! verwirrt

verwirrt

wenn nicht sogar schrott!

$\begin{eqnarray*} y= x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=y^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 20:01

Valli

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Die Variable als Basis eines Logarithmus...sein froh, dass du dich verrechnet hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Allgemeinen hast du die Umkehrfunktion richtig bestimmt, wenn deren Graph (um den Ursprung) um 90° im Uhrzeigersinn verdreht erscheint. Das gilt nicht immer (zB Achsensymmetrische Funktionen, sin/sos,...) aber immer öfter. Hammer

Hammer

Benutz um das zu Prüfen einfach deinen Graphikrechner.

06.11.2006, 20:12

Kira 007

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Also schrott kann es irgendwiee nicht sein, denn was mich total irritiert ist folgendes

$\begin{eqnarray*} y=a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=a^y/log_a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_a{x}=log_a{a}^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_a{x}=y*log_a{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_a{x}=y \end{eqnarray*}$

Gibt es vielleicht einen Unterschied zwischen der Kehrfunktion und der Umkehrfunktion, den voher weiß ich um wie viel Grad sich die Funktion dreht (45, oder 90 )

diese Aufgabe haben wir in der Vorlesung berechnet, das ist allerdings auch nichts anders oder, deshalb verstehe ich jetzt nicht warum meine aufgabe totaler schrott ist.

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06.11.2006, 20:33

Mathespezialschüler

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Wenn du die Umkehrfunktion berechnen willst musst du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ vertauschen! Das hatten wir doch letztens erst besprochen! Also musst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} x=y^3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen. Und das hat derkoch ja für dich sogar schon gemacht.

Gruß MSS

06.11.2006, 20:45

Kira 007

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Vielen Dank Mathespezialschüler, für Deine Erklärung

muss ich dann immer nach der anderen Variablen auflösen ?

$\begin{eqnarray*} y=e^x \end{eqnarray*}$

diese müsste ich jetzt vertauschen

$\begin{eqnarray*} x=e^y \end{eqnarray*}$ und nach y auflösen richtig

aber wohin löse ich auf wenn ich z.B habe

$\begin{eqnarray*} y=a^x \end{eqnarray*}$ ?

Gruß Kira

06.11.2006, 20:49

mYthos

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Ja, das hast du richtig verstanden;

bedenke auch, dass zwischen

$\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x^a \end{eqnarray*}$

ein großer Unterschied besteht! Das erste ist eine Potenzfunktion, das zweite aber ... ?

mY+

06.11.2006, 20:52

Kira 007

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eine Exponnential-Funktion ?

was wäre aber z.B. mit

$\begin{eqnarray*} y=a^x \end{eqnarray*}$ welche beiden Koeffizienten muss ich dort vertauschen ?

06.11.2006, 20:57

mYthos

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KEINE Koeffizienten, sondern die Variablen! Also

$\begin{eqnarray*} x = a^y \end{eqnarray*}$

Das ist bereits die Umkehrfunktion, aber implizit (das y ist "drinnen"). Für die explizite Darstellung ist also das y herauszurechnen ...

mY+

06.11.2006, 21:04

Kira 007

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wie ich das y herrausrechnen würde wäre mir klar, woran erkenne ich welche der Koeffizient und welche die Variable ist ?

06.11.2006, 21:13

mYthos

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Koeffizienten sind während der Laufzeit der Funktion konstant, währenddessen Variable ständig einen anderen Wert annehmen und zwar die eine Variable in Abhängigkeit von der anderen Variablen, wie sie in der Funktionsvorschrift beschrieben ist.

In

$\begin{eqnarray*} y = a^x \end{eqnarray*}$

hat also die Basis a einen konstanten Wert, y jedoch ändert sich, je nachdem, welcher Wert für x gerade aktuell ist.

Daher erhalten wir - wenn x bestimmte Werte durchläuft - eine Reihe von variablen Wertepaaren (x;y), die in weiterer Folge in einer -> Wertetabelle oder in einem ->Funktionsgraphen dargestellt werden können.

Für y wird, um zu beschreiben, dass es sich um eine Funktion handelt, f(x) gesetzt:

$\begin{eqnarray*} y := f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

mY+

06.11.2006, 21:17

Kira 007

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Super dann erhalte ich für mein Beispiel

Y= Variable

a= Konstante

x= Exponent

beiu diesem beispiel ist es aber umgekehrt

$\begin{eqnarray*} y=x^3 \end{eqnarray*}$ warum das

Variable x
Konstante 3

06.11.2006, 21:29

mYthos

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Davon haben wir vorhin doch schon gesprochen, das ist eine GANZ ANDERE Funktion! Nun keine Exponentiafunktion mehr, sondern ...

Die 3 ist also konstant, nach Vertauschung kriegst du

$\begin{eqnarray*} x = y^3 \end{eqnarray*}$

Kannst du das nun nach y umstellen?
Wie heisst diese Funktion dann?

06.11.2006, 21:32

Kira 007

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Zu spät Editiert sorry

ja kann ich machen

$\begin{eqnarray*} x=y^3/^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 21:43

mYthos

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OK, und die Umkehrfunktion der Potenzfunktion heisst Wurzelfunktion.

mY+

06.11.2006, 21:44

Kira 007

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Sind Zahlen nicht immer Konstante Buchstaben Variable ?

06.11.2006, 21:59

mYthos

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Nicht ganz.
Der Begriff Konstante wird auf sogenannte Formvariable ausgedehnt, die während eines Rechenabschnittes ihren Wert behalten, und als Platzhalter ebenfalls einen Buchstaben haben. Natürlich können sich auch solche Formvariable ändern, aber dann nur abschnittsweise und auch nur, wenn man ihnen dedizierte Werte zuordnet.

Ein Beispiel:

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} y := f(x) = m \cdot x + b \end{eqnarray*}$

bezeichnet eine lineare Funktion, in der die Zuordnung der unabhängig Variablen x zu der abhängig Variablen y ausgedrückt wird. Deren Graph (Schaubild) ist eine Gerade. Die Platzhalter (auch Formvariable) m (d. i. die Steigung) und b (Abschnitt auf der y-Achse) bezeichnen jedoch feste Werte, die während eines x;y - Durchlaufes, in welchem sich nur die x- und y-Werte ständig ändern, in dieser einen Funktion unbedingt konstant bleiben müssen. In einem nächsten Fall werden diese Konstanten zwar andere, aber wiederum feste Werte annehmen.

mY+

06.11.2006, 22:08

Kira 007

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Danke Dir Mythos muss ich das aber alles wissen ich möcht eja nur die Umkehrfunktion berechnen ?

aber unabhänig davon nehme ich mal eine Lineare Funktion

$\begin{eqnarray*} y=3x+4 \end{eqnarray*}$ also wäre die Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} x=3y+4 \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 22:23

mYthos

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.. ja, aber noch implizit. Sollte man noch explizit machen ...

Das andere solltest du (unbedingt) wissen, denn das ist für das allgemeine Verständnis von Funktionen sehr wichtig!

mY+

06.11.2006, 22:25

Kira 007

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Ok mache ich

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}-\frac{4}{3}=y \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 22:31

derkoch

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Freude

06.11.2006, 22:33

Kira 007

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Super vielen Dank Euch allen, jetzt bin ich schon ein großes Stück weiter gekommen.

werde mir das allerdings noch einmal richtig ausführlich anschauen.

Gruß Kira

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