Reihen auf Konvergenz prüfen |
30.08.2010, 20:25 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Reihen auf Konvergenz prüfen 1) da ist ja a1 = 0, a2 = 1/5, a3 = 2/7, ... somit s1 = 0, s2= 1/5, s3 = 1/5+2/7, ... Die Folge der Partialsummen ist somit streng monoton wachsend und divergiert gegen +unendlich. Damit ist die Reihe divergent, da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist. Richtig? 2) a1 = -1, a2 = 1/4, a3 = -1/9, a/4 = 1/16, ... s4 = -1 + 1/4 - 1/9 + 1/16 = -115/144 s3 = 1 + 1/4 - 1/9 ===> s3 < s4, analog s1 < s2 Allgemein: s_n + s_n+2 < s_n+1 + s_n+3 ===> Folge der Partialsummen ist wachsend, ich vermute, sie konvergiert gegen 0. Nur wie zeigen? = -1^k Hm... hat mir jetzt auch nicht wirklich was gebracht. Ähnelt zwar einer alternierenden harmonischen Reihe, von der man weiß, dass sie konvergent ist, ist aber keine oder? Danke schon mal für eure Hilfe. |
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30.08.2010, 21:44 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1) Schreibe doch mal korrekt, wie der Bruch aussieht. Klammern setzen! Zu 2) Wie du korrekt erkannt hast, handelt es sich um eine alternierende Folge, über die du summierst. Was kennst du denn für Kriterien für die Konvergenz von solchen Reihen? (Und nur so, deine Aussage
ist totaler Unsinn!) |
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30.08.2010, 23:12 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) so quasi, den bruchstrich hab ich nicht hinbekommen. 2) ich weiß, dass konvergent ist. weiß ich damit auch, dass absolut konvergent ist und somit die ganze reihe konvergent? edit: majorantenkriterium minorantenkriterium quotientenkriterium wurzelkriterium leibnitzkriterium leider kenne ich mich damit nicht so gut aus. |
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30.08.2010, 23:23 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal sehen: Riecht irgendwie nach Leibnizsches Kriterium. = Geht das? Das ganze würde dann nach Leibniz konvergieren, wenn (a_k) = 1/k² eine monotone Nullfolge ist, was es ja ist. |
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30.08.2010, 23:40 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Reihen auf Konvergenz prüfen
Na ja, die Reihe divergiert zwar tatsächlich aber Deine Überlegung, die zu diesem Schluss führt, ist falsch! Bilden die Summanden denn eine Nullfolge? |
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31.08.2010, 00:38 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hä? steht doch da:
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31.08.2010, 08:15 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 2) Jepp, du kannst es mit dem Leibniz-Kriterium begründen. Wenn du weißt, dass die Reihe konvergiert, kannst du es aber auch noch einfacher mit den Majoranten-Kriterium begründen. Kannst dir ja nochmal überlegen wie Zu 1) Es ist vielleicht etwas verwunderlich wie schnell du "siehst", dass die Reihe divergiert. Das ist zwar ganz schön für dich, aber noch lange kein Nachweis, dass dem so ist. Was Kühlkiste meint: Ist eine Nullfolge? Und wenn nein, was folgt daraus? Für eine Konvergenz ist es nicht notwendig, dass die Summe der Partialfolgen eine Nullfolge ist, sondern dass die Folge eine Nullfolge ist, über die du summierst. |
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31.08.2010, 12:48 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 2) | | = | | = Somit ist Majorantenkriterium anwendbar auf die Reihe, von der ich weiß, dass sie konvergiert, und die gegebene Reihe. ===> Die gegebene Reihe ist auch konvergent. Richtig? Zu 1)
Ah. Jetzt seh ich auch im Skript, das bezüglich der Nullfolge gar nicht von der Folge der Partialsummen die Rede ist. Danke, da war ich auf der falschen Fährte. = - Rechts gehts gegen 0, links gehts gegen 1/2. Also ist der Grenzwert 1/2. ===> Folge, über die ich summiere, ist keine Nullfolge ===> Reihe kann nicht konvergent sein. Stimmts so? |
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31.08.2010, 12:51 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist korrekt. |
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31.08.2010, 12:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich liegt dem eher die Regel zugrunde, daß, wenn konvergiert, dies auch tut. |
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31.08.2010, 13:00 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist dann aber nicht mehr das Majorantenkriterium oder? darf ja nur kleiner/gleich sein, wenn man weiß, dass konvergiert. |
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31.08.2010, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. |
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31.08.2010, 13:30 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kennst also nicht einmal den Unterschied zwischen Summanden und Partialsumme... Na immerhin kennst Du ein deutsches Fragewort ohne W - das ist ja schon mal was. Übrigens: Mit z.B. hast Du eine Partialsummenfolge, die monoton wachsend und auch keine Nullfolge aber dennoch konvergent ist. |
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31.08.2010, 13:48 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, wieso denn nicht? Wenn Folgen mit und konvergent. Dann auch konvergent. Und für erhält man doch die gewünschte Aussage? @Kühlkiste Er hat doch seinen Fehler schon eingesehen...? |
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31.08.2010, 13:56 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab ich inzwischen auch festgestellt. War wohl etwas voreilig... sorry! |
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31.08.2010, 14:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Folgerung, daß auch konvergiert, stimmt zwar, ist aber nicht sofort ersichtlich. |
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01.09.2010, 14:02 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) Untersuche auf Konvergenz: ... Da habe ich bisschen getüftelt und folgende Reihe rausgelesen: Wird schlecht angezeigt, soll aber -1 hoch (k minus 1) sein. Darauf Leibnizsches Kriterium angewandt: ist monotone Nullfolge ==> gegebene Reihe ist konvergent. 2) Untersuche auf Konvergenz: ... Das müsste die Reihe sein. = = > für alle k > 1. ==> Harmonische Reihe ist divergente Minorante der gegebenen Reihe ==> gegebene Reihe ist ebenso divergent. Jetzt fällt mir gerade auf, dass 1+positive Zahlen ja gar keine Nullfolge sein kann. Keine Nullfolge ==> Reihe divergent. Hätte ich mir den Kram mit der Harmonischen Reihe komplett sparen können? Ist sonst alles richtig? Danke schon mal. Exponenten werden mit folgender Klammer geklammert {}. Oben verbessert. |
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01.09.2010, 14:10 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. ist ausgeschrieben auch 1 + 1/4 + 1/9 ... Aber die Reihe darüber konvergiert. |
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01.09.2010, 14:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem Argument dürfte auch nicht konvergieren. |
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01.09.2010, 14:15 | Booker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist mir neu, dass "2" divergent ist... |
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01.09.2010, 14:17 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der gleiche Fehler wie in dem Thread schon einmal. Nicht die Folge der Partialsummen muss eine Nullfolge sein, sondern die Folge, über die du summierst. Ansonsten stimmt es aber, was du geschrieben hast. |
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01.09.2010, 14:22 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups In (1) sage ich mit Leibniz, dass 1 durch Wurzel(k) eine monotone NULLFOLGE ist und in (2) behaupte ich, dass es keine Nullfolge ist. |
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01.09.2010, 14:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Sache mit der Nullfolge ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. Demzufolge nutzt man das umgekehrt: bilden die Summanden keine Nullfolge, dann hat man keine konvergente Reihe. |
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01.09.2010, 14:26 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jepp. Hilft einem sowieso nur, wenn man die Divergenz der Reihe zeigen möchte. So wie eben zum Beispiel bei der ersten Reihe, die du in dem Thread gepostet hast. |
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01.09.2010, 14:28 | Cybah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, weil ich weiß, dass 1/wurzel(k) eine monotone Nullfolge ist, weiß ich immer noch nicht, ob die Reihe konvergent oder divergent ist. Deshalb musste ich noch das Minorantenkriterium heranziehen. |
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01.09.2010, 15:04 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. |
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