Reihen auf Konvergenz prüfen

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Cybah Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen auf Konvergenz prüfen
Aufgabe: Welche der folgenden Reihen ist konvergent:

1)

da ist ja a1 = 0, a2 = 1/5, a3 = 2/7, ...

somit s1 = 0, s2= 1/5, s3 = 1/5+2/7, ...

Die Folge der Partialsummen ist somit streng monoton wachsend und divergiert gegen +unendlich.

Damit ist die Reihe divergent, da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist. Richtig?


2)

a1 = -1, a2 = 1/4, a3 = -1/9, a/4 = 1/16, ...

s4 = -1 + 1/4 - 1/9 + 1/16 = -115/144

s3 = 1 + 1/4 - 1/9 ===> s3 < s4, analog s1 < s2

Allgemein: s_n + s_n+2 < s_n+1 + s_n+3

===> Folge der Partialsummen ist wachsend, ich vermute, sie konvergiert gegen 0. Nur wie zeigen?

= -1^k

Hm... hat mir jetzt auch nicht wirklich was gebracht. Ähnelt zwar einer alternierenden harmonischen Reihe, von der man weiß, dass sie konvergent ist, ist aber keine oder?

Danke schon mal für eure Hilfe.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Schreibe doch mal korrekt, wie der Bruch aussieht. Klammern setzen!

Zu 2) Wie du korrekt erkannt hast, handelt es sich um eine alternierende Folge, über die du summierst. Was kennst du denn für Kriterien für die Konvergenz von solchen Reihen?

(Und nur so, deine Aussage
Zitat:

= -1^k


ist totaler Unsinn!)
 
 
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

1)

so quasi, den bruchstrich hab ich nicht hinbekommen.


2) ich weiß, dass konvergent ist.

weiß ich damit auch, dass absolut konvergent ist und somit die ganze reihe konvergent?


edit:

majorantenkriterium
minorantenkriterium
quotientenkriterium
wurzelkriterium
leibnitzkriterium

leider kenne ich mich damit nicht so gut aus.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

Mal sehen:

Riecht irgendwie nach Leibnizsches Kriterium.

=

Geht das?

Das ganze würde dann nach Leibniz konvergieren, wenn (a_k) = 1/k² eine monotone Nullfolge ist, was es ja ist.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihen auf Konvergenz prüfen
Zitat:
Original von Cybah
Aufgabe: Welche der folgenden Reihen ist konvergent:

1)

da ist ja a1 = 0, a2 = 1/5, a3 = 2/7, ...

somit s1 = 0, s2= 1/5, s3 = 1/5+2/7, ...

Die Folge der Partialsummen ist somit streng monoton wachsend und divergiert gegen +unendlich.

Damit ist die Reihe divergent, da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist. Richtig?


Na ja, die Reihe divergiert zwar tatsächlich aber Deine Überlegung, die zu diesem Schluss führt, ist falsch!

Bilden die Summanden denn eine Nullfolge?
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

hä? steht doch da:
Zitat:
da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2) Jepp, du kannst es mit dem Leibniz-Kriterium begründen. Wenn du weißt, dass die Reihe



konvergiert, kannst du es aber auch noch einfacher mit den Majoranten-Kriterium begründen. Kannst dir ja nochmal überlegen wie smile

Zu 1) Es ist vielleicht etwas verwunderlich wie schnell du "siehst", dass die Reihe divergiert. Das ist zwar ganz schön für dich, aber noch lange kein Nachweis, dass dem so ist. Was Kühlkiste meint: Ist



eine Nullfolge? Und wenn nein, was folgt daraus?

Für eine Konvergenz ist es nicht notwendig, dass die Summe der Partialfolgen eine Nullfolge ist, sondern dass die Folge eine Nullfolge ist, über die du summierst.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2)

| | = | | =

Somit ist Majorantenkriterium anwendbar auf die Reihe, von der ich weiß, dass sie konvergiert, und die gegebene Reihe. ===> Die gegebene Reihe ist auch konvergent. Richtig?


Zu 1)

Zitat:
Original von saz
Zu 1) Es ist vielleicht etwas verwunderlich wie schnell du "siehst", dass die Reihe divergiert. Das ist zwar ganz schön für dich, aber noch lange kein Nachweis, dass dem so ist. Was Kühlkiste meint: Ist



eine Nullfolge? Und wenn nein, was folgt daraus?

Für eine Konvergenz ist es nicht notwendig, dass die Summe der Partialfolgen eine Nullfolge ist, sondern dass die Folge eine Nullfolge ist, über die du summierst.


Ah. Jetzt seh ich auch im Skript, das bezüglich der Nullfolge gar nicht von der Folge der Partialsummen die Rede ist. Danke, da war ich auf der falschen Fährte.

= -

Rechts gehts gegen 0, links gehts gegen 1/2. Also ist der Grenzwert 1/2. ===> Folge, über die ich summiere, ist keine Nullfolge ===> Reihe kann nicht konvergent sein.

Stimmts so? smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
Zu 2)

| | = | | =

Somit ist Majorantenkriterium anwendbar auf die Reihe, von der ich weiß, dass sie konvergiert, und die gegebene Reihe. ===> Die gegebene Reihe ist auch konvergent. Richtig?

Eigentlich liegt dem eher die Regel zugrunde, daß, wenn konvergiert, dies auch tut.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann aber nicht mehr das Majorantenkriterium oder?

darf ja nur kleiner/gleich sein, wenn man weiß, dass konvergiert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
Das ist dann aber nicht mehr das Majorantenkriterium oder?

Richtig.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
hä? steht doch da:
Zitat:
da die Folge der Partialsummen keine Nullfolge ist


Du kennst also nicht einmal den Unterschied zwischen Summanden und Partialsumme... unglücklich

Na immerhin kennst Du ein deutsches Fragewort ohne W - das ist ja schon mal was.

Übrigens:
Mit z.B. hast Du eine Partialsummenfolge, die monoton wachsend und auch keine Nullfolge aber dennoch konvergent ist.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Cybah
Das ist dann aber nicht mehr das Majorantenkriterium oder?

Richtig.


Mh, wieso denn nicht? Wenn Folgen mit und konvergent. Dann auch konvergent. Und für erhält man doch die gewünschte Aussage? verwirrt

@Kühlkiste Er hat doch seinen Fehler schon eingesehen...?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saz

@Kühlkiste Er hat doch seinen Fehler schon eingesehen...?


Hab ich inzwischen auch festgestellt. War wohl etwas voreilig... sorry!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saz
Wenn Folgen mit und konvergent. Dann auch konvergent.

Die Folgerung, daß auch konvergiert, stimmt zwar, ist aber nicht sofort ersichtlich.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

1) Untersuche auf Konvergenz:

...

Da habe ich bisschen getüftelt und folgende Reihe rausgelesen:



Wird schlecht angezeigt, soll aber -1 hoch (k minus 1) sein.

Darauf Leibnizsches Kriterium angewandt: ist monotone Nullfolge ==> gegebene Reihe ist konvergent.



2) Untersuche auf Konvergenz:

...

Das müsste die Reihe



sein.

= =

> für alle k > 1.

==> Harmonische Reihe ist divergente Minorante der gegebenen Reihe ==> gegebene Reihe ist ebenso divergent.


Jetzt fällt mir gerade auf, dass 1+positive Zahlen ja gar keine Nullfolge sein kann. Keine Nullfolge ==> Reihe divergent. Hätte ich mir den Kram mit der Harmonischen Reihe komplett sparen können?


Ist sonst alles richtig?


Danke schon mal. smile

Exponenten werden mit folgender Klammer geklammert {}. Oben verbessert.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
Jetzt fällt mir gerade auf, dass 1+positive Zahlen ja gar keine Nullfolge sein kann. Keine Nullfolge ==> Reihe divergent. Hätte ich mir den Kram mit der Harmonischen Reihe komplett sparen können?


Nein. ist ausgeschrieben auch 1 + 1/4 + 1/9 ...
Aber die Reihe darüber konvergiert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
Jetzt fällt mir gerade auf, dass 1+positive Zahlen ja gar keine Nullfolge sein kann. Keine Nullfolge ==> Reihe divergent.

Mit dem Argument dürfte auch nicht konvergieren. smile
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir neu, dass "2" divergent ist... verwirrt
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cybah
Jetzt fällt mir gerade auf, dass 1+positive Zahlen ja gar keine Nullfolge sein kann. Keine Nullfolge ==> Reihe divergent. Hätte ich mir den Kram mit der Harmonischen Reihe komplett sparen können?


Der gleiche Fehler wie in dem Thread schon einmal. Nicht die Folge der Partialsummen muss eine Nullfolge sein, sondern die Folge, über die du summierst.

Ansonsten stimmt es aber, was du geschrieben hast.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

Ups LOL Hammer

In (1) sage ich mit Leibniz, dass 1 durch Wurzel(k) eine monotone NULLFOLGE ist und in (2) behaupte ich, dass es keine Nullfolge ist.
LOL Hammer LOL Hammer LOL Hammer LOL Hammer Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache mit der Nullfolge ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. Demzufolge nutzt man das umgekehrt: bilden die Summanden keine Nullfolge, dann hat man keine konvergente Reihe.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp. Hilft einem sowieso nur, wenn man die Divergenz der Reihe zeigen möchte. So wie eben zum Beispiel bei der ersten Reihe, die du in dem Thread gepostet hast.
Cybah Auf diesen Beitrag antworten »

Also, weil ich weiß, dass 1/wurzel(k) eine monotone Nullfolge ist, weiß ich immer noch nicht, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Deshalb musste ich noch das Minorantenkriterium heranziehen.

Gott
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. smile
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