Kern, Bild, Dimension

30.08.2010, 20:35

Bazza

Kern, Bild, Dimension

Hallo,

bei meiner prüfungsvorbereitung bin ich auf eine beweisaufgabe gestoßen, deren eine teilaufgabe mir noch probleme bereitet. hier die aufgabestellung:

Zitat:

Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-VR mit $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, n\neq 0,n\neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi\in End(V) \end{eqnarray*}$
Zeigen sie:
a) $\begin{eqnarray*} Bild(\phi)=Kern(\phi)=>n \end{eqnarray*}$ gerade
b) $\begin{eqnarray*} n gerade => \exists \phi\in End(V) mit Bild(\phi)=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$

die a) lässt sich leicht per dimensionsformel beweisen:

$\begin{eqnarray*} dim V = dim (Kern) + dim (Bild) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => n=2*dim(Kern) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n=2dim(Bild) \end{eqnarray*}$

aber bei der b) weiß ich momentan nicht weiter. kann mir jemand einen tipp geben, wie ich hier ansetzen soll?

danke schonmal im voraus.

30.08.2010, 21:19

jester.

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Wähle dir eine Basis mit einer geraden Anzahl von Elementen und versuche dann mal, eine geeignete Abbildung auf dieser Basis zu definieren.

30.08.2010, 21:24

Evelyn89

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Ich gehe mal davon aus, dass in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} dimKern(\phi)=dimBild(\phi) \end{eqnarray*}$
gezeigt werden muss und nicht $\begin{eqnarray*} Bild(\phi)=Kern(\phi) \end{eqnarray*}$ .

zu b)

Wenn n gerade ist, dann ist $\begin{eqnarray*} n=2k \text{ für ein } k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} dimV=n=2k=dimBild(\phi)+dimKern(\phi) \end{eqnarray*}$

Nun hast du das Problem klar vor Augen.

Setze nun $\begin{eqnarray*} dimBild(\phi)=k \end{eqnarray*}$ . Was folgt dann?

Man kann natürlich auch wahlweise $\begin{eqnarray*} dimKern=k \end{eqnarray*}$ setzen.

P.S.: Deine Implikation bei a) verstehe ich nicht. Kannst du sie irgendwie begründen?

30.08.2010, 21:46

jester.

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@Evelyn: Ich gehe schon davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(\phi)=\ker(\phi) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Und die (a) ist zwar etwas unglücklich aufgeschrieben, aber das Argument sollte ja klar sein, oder?

30.08.2010, 23:03

Evelyn89

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@ jester: Nun ja, ich hatte nur irgendwie Zweifel, dass es dem Fragesteller klar war.

Wenn tatsächlich nicht die Dimension gemeint ist, dann ist a) aber noch nicht gezeigt oder übersehe ich hier etwas?

30.08.2010, 23:10

jester.

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Zitat:

Original von Evelyn89
Wenn tatsächlich nicht die Dimension gemeint ist, dann ist a) aber noch nicht gezeigt oder übersehe ich hier etwas?

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(\phi)=\ker(\phi)\Rightarrow \dim\operatorname{Bild}(\phi) = \dim\ker(\phi) \Rightarrow n=\dim V = 2\dim\ker(\phi) \end{eqnarray*}$

Aus der Gleichheit der Räume folgt ja die Gleichheit der Dimensionen, daraus folgt dann, dass n gerade ist (mit der bekannten und vom Fragesteller bereits verwendeten "Dimensionsformel" $\begin{eqnarray*} \dim V = \dim\ker\phi + \dim\operatorname{Bild}\phi \end{eqnarray*}$ ).

31.08.2010, 13:57

Evelyn89

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Ah!

Klar, jetzt leuchtet es mir ein. Habe übersehen, dass $\begin{eqnarray*} Kern(\phi)=Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wurde.

Wurde dem Fragesteller nun geholfen? verwirrt

31.08.2010, 21:31

Bazza

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hallo,

danke für die zahlreichen antworten.

habe die aufgabe nun lösen können smile

baz

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