Folge konvergiert gegen Eigenvektor?

31.08.2010, 08:59	Singvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge konvergiert gegen Eigenvektor? Guten Morgen! Ich habe hier ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme...wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte! Die Frage ist, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist: Sei A eine nxn-Matrix in R. Sei y Elemenet aus $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ , so dass die Folge $\begin{eqnarray} A^ky \end{eqnarray*}$ gegen einen Vektor x konvergiert, der nicht Null ist. Dann ist x ein Eigenvektor von A. Ich bin der Meinung, dass das so nicht stimmt, habe aber keine Ahnung, wie ich auf eine Folge und einen Vektor als Gegenbeispiel kommen kann. Welche Bedingungen erfüllt denn ein Eigenvektor, die man schnell als falsch identifizieren kann? Schonmal vielen Dank!! Singvogel
31.08.2010, 09:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} z \mapsto A \cdot z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist linear, also stetig. Überlege, daß mit $\begin{eqnarray} x_k = A^k \cdot y \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} x_{k+1} = A \cdot x_k \end{eqnarray}$ gilt. Und was heißt das für $\begin{eqnarray} k \to \infty \end{eqnarray}$ ?
31.08.2010, 19:23	Singvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
...kann ich daraus schließen, dass ich falsch lag und die Aussage doch richtig ist? Aber auf jeden Fall vielen Dank schonmal!!!

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