Faltung die 2.

31.08.2010, 10:08	Jeba	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung die 2. Habe nun noch eine andere Faltung, bei der ich nicht sicher bin: $\begin{eqnarray} \chi_A\chi_A(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=[0,1]\cup [2,3] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\chi_A \end{eqnarray}$ Wenn ich mir eine Skizze mache, dann sehe ich, dass beim Falten mit dem 1. Quadrat ein Dreieck rauskommt (Grenzen -1/2, 3/2), beim 2. Quadrat ebenfalls mit den Grenzen 3/2 und 7/2. Beim Falten mit dem 2. Quadrat wird die Funktion glatter. Die Grenzen -1,2 und 1,4. d.h sie überlappen zwischen 1 und 2. $\begin{eqnarray} \chi_A\chi_A(x)=\int_0^1 \! f(y-x) \, dx +\int_2^3 \! f(y-x) \, dx \end{eqnarray}$ nach Subst.: $\begin{eqnarray} y-x=z \end{eqnarray}$ bekomme ich $\begin{eqnarray} \chi_A\chi_A(x)=\int_{y-1}^{y} \! f(y) \, dy +\int_{y-3}^{y-2} \! f(y) \, dy \end{eqnarray*}$ Leider weiss ich nicht wirklich wie weiter Kann mir jemand helfen? Vielen Dank Grüsse baje
31.08.2010, 13:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir ergibt die Faltung ein Gebirge mit zwei kleinen spitzen Bergen links und rechts und einem größeren spitzen Berg in der Mitte. Es ist ja $\begin{eqnarray} A = I_1 \cup I_2 \end{eqnarray}$ die disjunkte Vereinigung der Intervalle $\begin{eqnarray} I_1 = [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_2 = [2,3] \end{eqnarray}$ . Folglich gilt $\begin{eqnarray} \chi_A = \chi_{I_1} + \chi_{I_2} \end{eqnarray}$ Die Distributivität der Faltung liefert nach Art der binomischen Formel: $\begin{eqnarray} \chi_A \chi_A = \left( \chi_{I_1} + \chi_{I_2} \right) * \left( \chi_{I_1} + \chi_{I_2} \right) = \chi_{I_1} * \chi_{I_1} + 2 \, \chi_{I_1} * \chi_{I_2} + \chi_{I_2} * \chi_{I_2} \end{eqnarray}$ Die Graphen von $\begin{eqnarray} \chi_{I_1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \chi_{I_2} \end{eqnarray}$ sind nur um $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Richtung gegeneiander verschoben. Genauer gilt: $\begin{eqnarray} \chi_{I_2}(x) = \chi_{I_1}(x-2) \end{eqnarray}$ Man kann daraus durch Rechnung mit Integralen folgern: $\begin{eqnarray} \left( \chi_A * \chi_A \right)(x) = \left( \chi_{I_1} * \chi_{I_1} \right)(x) + 2 \left( \chi_{I_1} * \chi_{I_1} \right)(x-2) + \left( \chi_{I_1} * \chi_{I_1} \right)(x-4) \end{eqnarray*}$ Und hieran sieht man auch schön den Gebirgszug. Der Berg in der Mitte ist doppelt so hoch wie die Berge links und rechts.

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