impliziertes Eulerverfahren

31.08.2010, 11:22	Tobi88	Auf diesen Beitrag antworten »
impliziertes Eulerverfahren Meine Frage: So nun bin ich bei den Anfangswertaufgaben angelangt. Ich soll die Aufgabe 1.JPG bearbeiten. Die Formel für das Explizite Eulerverfahren habe ich anhand eines Rechenbeispiels verstanden. Mein Problem ist es 2.JPG <--- die Formel für das implizite Eulerverfahren anzuwenden. Meine Ideen: Folglich habe ich die Formel, bin aber zu doof sie anzuwenden, da ich mit diesem indize Buchstabensalat nichts anfangen kann. Es wäre schön wenn mir jemand erklären könnte wie ich das zu lesen habe, damit ich die Formel Anwenden kann. (Als Lösung für meine Aufgabe habe ich nur eine ausgefüllte Matlab - Tabelle ohne Rechenweg etc.) Danke schön!!
31.08.2010, 13:21	Tobi88	Auf diesen Beitrag antworten »
findet das Thema noch jemand wenn es nicht mehr auf der Startseite steht?
31.08.2010, 13:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Thema kann man noch finden. In deinem Fall ist $\begin{eqnarray} f(x,y)=-1000(y-e^x)-e^{-x} \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ (Anfangszeitpunkt) und $\begin{eqnarray} y_0=y(0)=1 \end{eqnarray}$ und die Schrittweite $\begin{eqnarray} h=0.1 \end{eqnarray}$ . Dann kriegst du eine Näherung $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ von der Lösung $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_1=x_0+h=0.1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} y_1=y_0+hf(x_1,y_1) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y_1=1+0.1\cdot(-1000(y_1-e^{x_1})-e^{-x_1}) \end{eqnarray}$ . Die Näherung ist $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ und da dies auch auf der rechten Seite der Gleichung vorkommt muss man diese nichtlineare Gleichung (numerisch) nach $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ auflösen. Nutze dazu zb. eine Newtoniteration: Setze $\begin{eqnarray} y_{it}=y_0+hf(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ [also eine Annäherung an $\begin{eqnarray} y(x_1) \end{eqnarray}$ mit dem expliziten Eulerverfahren] und eine Toleranz, zb $\begin{eqnarray} Tol=10^{-6} \end{eqnarray}$ , sowie zb. $\begin{eqnarray} err=1 \end{eqnarray}$ (in dieser Variable wird der Fehler gespeichert). Nun berechne in einer "while"-Schleife wie folgt: Falls $\begin{eqnarray} err\geq Tol \end{eqnarray}$ , dann tue: $\begin{eqnarray} y_1=y_0+hf(x_1,y_{it}) \end{eqnarray}$ (beachte, das kann man ausrechnen, da $\begin{eqnarray} y_{it} \end{eqnarray}$ eine erste Annäherung ist) $\begin{eqnarray} err=\|y_{it}-y_1\| \end{eqnarray}$ (berechne wie weit beide Annäherungen auseinanderliegen) Schreibe dann den Wert von $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ in die Variable $\begin{eqnarray} y_{it} \end{eqnarray}$ . Diese Schleife läuft solange durch, wie der Abstand von aufeinander berechneten Annäherungen noch grösser als die vorgegebene Toleranz ist. Wenn die Schleife endet, also der Fehler $\begin{eqnarray} err \end{eqnarray}$ kleiner als die Toleranz ist, nutzt du die Näherung $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ als numerisches Resultat. Dasselbe wieder für $\begin{eqnarray} y_2,y_3,y_4,... \end{eqnarray}$ .
31.08.2010, 14:03	Tobi88	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schön

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