Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen

31.08.2010, 13:08	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Hallo, Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es irgendein Kriterium, wann man ein Doppelintegral (im Riemann Sinn) vertauschen konnte: $\begin{eqnarray} \int\limits_{a_1}^{a_2}\int\limits_{b_1}^{b_2}f(a,b)db\ da=\int\limits_{b_1}^{b_2}\int\limits_{a_1}^{a_2}f(a,b)da\ db \end{eqnarray}$ Kann mir dazu jemand einen Tipp geben, bzw. einen Link. Ich weiss bei sowas immer nicht, was ich googlen soll.
31.08.2010, 13:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fu...iemann-Integral
31.08.2010, 13:20	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Genau! Fubini hiess der Mann.
31.08.2010, 13:34	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Okay, eine Frage ergibt sich jedoch noch: Fubini setzt kompakte Intervalle voraus. Gilt das gleiche nicht auch, wenn (um die Notation von Wikipedia beizubehalten) $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ eine endliche vereinigung kompakter Intervalle ist? Ich dachte mir das so: Sei $\begin{eqnarray} I=[a,b],\ J=[c,d]\cup[e,f] \end{eqnarray}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray} \begin{array}{rcl}\int_I\int_Jf(x,y)dy\ dx&=&\int_I\int_{[c,d]\cup[e,f]}f(x,y)dy\ dx\\&=&\int_I\int_{[c,d]}f(x,y)dy+\int_{[e,f]}f(x,y)dy\ dx\\&=&\int_I\int_{[c,d]}f(x,y)dy\ dx +\int_I\int_{[e,f]}f(x,y)dy\ dx\\&=&\int_{[c,d]}\int_If(x,y)dx\ dy+\int_{[e,f]}\int_If(x,y)dx\ dy\\&=&\int_{[c,d]\cup[e,f]}\int_If(x,y)dx\ dy\\&=&\int_J\int_If(x,y)dx\ dy\end{array} \end{eqnarray}$ Ist in dieser Argumentation ein Fehler?
31.08.2010, 13:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Ich wüsste nicht warum die Vereinigung zweier kompakter Intervalle nicht wieder kompakt sein soll. Wenn man jeweils beide einzeln von einer unendlichen Überdeckung zu einer endliche Teilüberdeckung reduzieren kann, kann man das gleiche doch mit der Vereinigung tun.
31.08.2010, 13:40	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Fubini verlangt jedoch kompakte Intervalle. Dass die Vereinigung zweier kompakter Intervalle wieder kompakt ist, ist klar... Jedoch ist die Vereinigung zweier kompakter Intervalle im Allgemeinen kein Intervall.
Anzeige

31.08.2010, 14:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vertauschbarkeit von Doppel-Integralen Stimmt, hat ich nicht beachtet Denke, dass dein Beweis dazu stimmt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »