Begriff des Teilkörpers und algebraische Charakterisierung eines Körpers

31.08.2010, 16:03

Lillli

Begriff des Teilkörpers und algebraische Charakterisierung eines Körpers

Meine Frage:
Hallo,
hier erstmal die Aufgabe, die ich gegeben habe:
Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Menge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \overline {M}\subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Menge aller Punkte, die sich hieraus mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen.
Ist $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ betrachtet ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?
Wie lässt sich die Menge $\begin{eqnarray*} \overline{M} \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ algebraisch charakterisieren?

Meine Ideen:
Ich habe Probleme, weil ich nicht genau weiß, was hier von mir gefordert wird. Zum einen soll ich überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \overline {M} \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper der komplexen Zahlen ist. Wenn ich überprüfen müsste, ob es ein Körper ist, würde ich versuchen die Körperaxiome zu prüfen. Gibt es für einen Teilkörper auch solche Axiome?
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge der komplexen Zahlen ist, da sie alle Zahlen in der Zahlenebene enthält, die mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, also enthält sie alle reellen Zahlen außer den transzendenten Zahlen.

Ich habe hier einen Lösungshinweis zu der Aufgabe. Dort wird angedeutet, dass man zeigt, dass man mit Zirkel und Lineal addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann und das auch im Bereich der komplexen Zahlen. Ich sehe aber den Zusammenhang zur Aufgabenstellung hier nicht.

Bei der zweiten Frage weiß ich nicht, was ich unter "algebraisch charakterisieren" zu verstehen habe.

Vielen Dank für jede Hilfe.

31.08.2010, 16:57

wisili

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RE: Begriff des Teilkörpers und algebraische Charakterisierung eines Körpers

Zitat:

Original von Lillli
Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Menge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$

... also enthält sie alle reellen Zahlen außer den transzendenten Zahlen.

Vorerst nur 2 Bemerkungen: $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre also möglich?

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht transzendent.

31.08.2010, 17:01

system-agent

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Ich kann dir nicht soviel über die Natur der Zahlen sagen, die sich konstruieren lassen. Aber ein Teilkörper ist einfach ein Körper im Körper. Zb sind $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ beides Körper, ausserdem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Im Prinzip musst du die Körperaxiome überprüfen, aber viele davon kannst du dir sparen. Zb. die Distributivität, denn die gilt schon in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also auch in jeder Teilmenge davon etc etc.
Was du allerdings überprüfen musst ist, dass falls $\begin{eqnarray*} a,b\in\overline{M} \end{eqnarray*}$ , dass dann auch
(i) $\begin{eqnarray*} a+b\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} ab\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} -a\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(iv) $\begin{eqnarray*} a^{-1}\in \overline{M} \end{eqnarray*}$ .
Nun kannst du dir überlegen, wieso dann schon folgt, dass $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist.

31.08.2010, 19:29

Lillli

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@wisili

Zitat:

Und $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht transzendent.

Du hast Recht, $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ ist nicht transzendent sondern gehört bei den irrationalen Zahlen zu den algebraischen Zahlen, da es Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null ist. Zudem ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ nicht mir Zirkel und Lineal konstruierbar. Also war meine Aussage von oben

"also enthält sie alle reellen Zahlen außer den transzendenten Zahlen."

wohl nicht ganz richtig.

$\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ enthält also noch weniger Zahlen. Ich glaube es sind alle Zahlen darin enthalten, die sich mit + - * und / sowie Wurzeln darstellen lassen, da man diese Operationen mit Zirkel und Lineal durchführen kann. Das sind zumindest einmal alle rationalen Zahlen.
Ich bin mir jetzt aber nicht sicher, ob da noch mehr dazukommen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre also möglich?

Meintest du $\begin{eqnarray*} \overline{M} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre also möglich?
$\begin{eqnarray*} \overline{M} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist also nicht möglich, das z.B. auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gehört, aber nicht zu $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$

Falls du doch $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre also möglich? gemeint hast, ist dies nicht möglich, das ja gilt

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Menge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$

@system-agent

Ach so. Deshalb muss man einzeln nachrechnen, ob die Elemente die du genannt hast, auch in $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ liegen. Dass das der Fall ist, habe ich gezeigt.

Zitat:

Nun kannst du dir überlegen, wieso dann schon folgt, dass $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist.

Für einen Teilkörper muss ja die Abgeschlossenheit gelten, das haben wir schon durch (i) und (ii) gezeigt, da wir mit allen möglichen Operationen nicht aus der Menge $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Zudem müssen wir zeigen, dass das inverse Element der Addition (iii) sowie das inverse Element der Multiplikation $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ drin liegen.
Alle anderen Axiome sind auch erfüllt, da diese in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt sind und wir uns in einer Teilmenge davon befinden. Die Abgeschlossenheit haben wir ja schon gezeigt.
Ist das richtig so?

31.08.2010, 21:26

wisili

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Zitat:

Falls du doch $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre also möglich? gemeint hast, ist dies nicht möglich, da ja gilt:
Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Menge reeller Zahlen mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$

Aus « $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ » folgt aber « $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$ »

01.09.2010, 08:25

system-agent

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Zitat:

Original von Lillli
Für einen Teilkörper muss ja die Abgeschlossenheit gelten, das haben wir schon durch (i) und (ii) gezeigt, da wir mit allen möglichen Operationen nicht aus der Menge $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Zudem müssen wir zeigen, dass das inverse Element der Addition (iii) sowie das inverse Element der Multiplikation $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ drin liegen.
Alle anderen Axiome sind auch erfüllt, da diese in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erfüllt sind und wir uns in einer Teilmenge davon befinden. Die Abgeschlossenheit haben wir ja schon gezeigt.
Ist das richtig so?

Ja, ist OK. Man muss sich einfach einmal im Leben Gedanken darüber gemacht haben Augenzwinkern

01.09.2010, 17:53

Lillli

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Zitat:

Aus « $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ » folgt aber « $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0,1 \in M \end{eqnarray*}$ »

Ja, das ist richtig, ich habe das als eine echte Teilmenge angesehen und dann wäre es nicht möglich. Ich sehe irgendwie aber noch nicht genau, worauf du rauswillst...

01.09.2010, 18:16

wisili

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Ich frage ganz naiv (weil die 0 und 1 merkwürdig schienen).

02.09.2010, 19:24

Lillli

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Ich möchte nochmals auf meine zwei Fragen vom Anfang zurückkommen, um zusammenzufassen, was ich bis jetzt herausgefunden habe.

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ betrachtet ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?
Wie lässt sich die Menge $\begin{eqnarray*} \overline{M} \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ algebraisch charakterisieren?

Die erste Frage würde ich jetzt mit "JA" beantworten. Dies weise ich nach, indem ich zeige, dass gilt:

Zitat:

falls $\begin{eqnarray*} a,b\in\overline{M} \end{eqnarray*}$ , dass dann auch
(i) $\begin{eqnarray*} a+b\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} ab\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} -a\in\overline{M} \end{eqnarray*}$
(iv) $\begin{eqnarray*} a^{-1}\in \overline{M} \end{eqnarray*}$ .

Dies ist alles erfüllt, da ich mit Zirkel und Lineal all diese Operationen durchführen kann.

Bei der zweiten Frage bin ich aber noch nicht weitergekommen. Ich weiß immer noch nicht, was von mir verlangt wird, wenn ich die Menge $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ algebraisch charakterisieren soll...
Ich würde mich freuen, falls mir da noch jemand helfen kann.

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