Fermats letzter Satz: x,y,z teilerfremd für den Fall n=3?

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Havard Auf diesen Beitrag antworten »
Fermats letzter Satz: x,y,z teilerfremd für den Fall n=3?
Meine Frage:
Hi,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Fermats letztem Satz und versuche einen Beweis für den Fall n=3 zu finden. Als Vorraussetzung für meinen Beweis habe ich festgesetzt, dass x, y und z paarweise teilerfremd sind. Leider fehlt mir für diese Voraussetzung der Beweis.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?


Meine Ideen:
Ich hätte den Beweis so begonnen, indem ich zunächst annehme, dass x gerade, y ungerade und z ungerade sind.
Da x gerade und y ungerade ist, existiert eine Zahl 2a = x+y und eine Zahl 2b = x-y .
Daraus erbibt sich durch Umformung und Einsetzen: x=a+b (1) und y=a-b (2)
Wegen ggT(x,y)=1 folgt nun a "ist nicht" 0 und b "ist nicht" 0.
Und hier steig ich schon aus. Denn mit den Gleichungen (1) und (2) habe ich ja eigentlich gezeigt, dass entweder x UND y gerade sind oder x UND y ungerade sind. Hier ist meiner Meinung nach ein Widerspruch.
Vielleicht gibt es einen anderen weg, um zu beweisen, dass x,y,z teilerfremd sind?
Olrik Breckoff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fermats letzter Satz: x,y,z teilerfremd für den Fall n=3?
Sei a^3+b^3=c^3

o.B.d.A kann man annehmen dass ggT(a;b;c)=1 gilt.

Daraus folgt dass zwei der beiden Zahlen ungerade sind und eine gerade.

Natürlich können zunächst einmal auf der linken Seite die beiden ungeraden Zahlen stehen und auf der rechten seite die gerade zahl, oder aber auf der linken seite eine ungerade und eine gerade, auch wenn beide Fälle im Endergebnis fast gleich funktionieren. (in deinem Posting geht es nur um den einen Fall)

Ansonsten liegst du richtig:

Angenommen a und b sind ungerade, dann kann man a=p+q und b=p-q setzen. Es gilt dann (p+q)^3+(p-q)^3=c^3

Angenommen a und c sind ungerade dann kann man c=p+q und a=p-q sezten. Es gillt dann (p+q)^3-(p-q)^3=b^3

In beiden Fällen multipliziere aus, fasse zusammen und faktorisiere. Du bekommst dann 2p(p^2+3q^2)=c^3 bzw 2q(q^2+3p^2)=b^3 heraus. Wie du siehst sind ab dort die beiden Fälle gleich.

Als Tipp: die beiden Ausdrücke zwischen den Klammern kann man im algebraischen Zahlkörper |Q(sqrt(-3) faktorisieren.

MfG Olrik
Olrik Breckoff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fermats letzter Satz: x,y,z teilerfremd für den Fall n=3?
War etwas zu schnell, die Tatsache dass es reicht teilerfremde Tripel zu betrachten ist trivial: angenommen der größte gemeinsame Teiler von a, b und c ist v, dann gilt (vy)^3+(vy)^3=(vz)^3. Teilt man nun die linke und die rechte Seite durch v^3 ergibt sich x^3+y^3=z^3 mit ggT(x,y,z)=1. Anders herum erhält man aus einem Lösungstripel (x;y;z) mit ggT(x;y;z) ein weiteres Lösungtripel (r;s;t) mit r=vx s=vy t=vz
für das ggT(r,s,t)>1. o.B.d.A reicht es also teilerfremde Tripel zu betrachten.

MfG Olrik
Havard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fermats letzter Satz: x,y,z teilerfremd für den Fall n=3?
Vielen Dank für deine umfangreiche Antwort.
Leider habe ich jedoch immer noch nicht verstanden, ob ich damit schon bewiesen habe, dass x,y,z paarweise teilerfremd sind?
SF Auf diesen Beitrag antworten »

da 'a^3+b^3=c^3' ist 'ggt(a,b,c)=1' äquivalent zu 'a,b,c paarweise teilerfremd'.
denn teilt eine zahl d 2 der zahlen a,b,c teilt sie auch die dritte.
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