Vermutungen zu Funktionsschar

31.08.2010, 20:33

Banane18

Vermutungen zu Funktionsschar

Meine Frage:
Guten Abend.

$\begin{eqnarray*} fa(x)=x*(x-a)^2 \end{eqnarray*}$

1.Zeichne einige Kurven der Schar.
Welche Vermutungen ergeben sich über die Anzahl der Nullstellen,Anzahl & Lage der Extrempunkte und gemeinsame Punkte aller Kurven der Schar?
2. Beweise deine Vermutungen.

Meine Ideen:

Hier habe ich den Graphen gezeichnet, mit a=1,a=2,a=3 und a=4.
Ich hoffe, dass das der richtige Ansatz war.

Und nun zu den Vermutungen.

Anzahl der Nullstellen:
2 pro Funktion. Jeder Graph durchläuft den Punkt[0|0] und schneidet jeweils einmal die X-Achse bei dem Punkt [a|0].
Extrempunkte: Ich denke das die Minima jedes Graphen klar beschrieben werden können.
Bei a=2,liegt das Minima bei dem Punkt [2|0]
Bei a=3, [3|0]
Bei a=4, [4|0]
Der X-Wert des Punktes stimmt also mit a überein.
Zum Maxima kann ich nur sagen, dass sich der Punkt bei einem jeweils höheren Wert von a auf der X-Achse nach rechts und auf der Y-Achse nach oben verschiebt.

Soweit richtig, oder Ergänzungen?

EDIT von Calvin
Plot richtig eingefügt

31.08.2010, 21:07

Johnsen

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Diese Beschreibung passt soweit, jedoch kannst du noch sehr genau sagen, wo und vor allem WARUM Maxima und Minima auftauchen! Dies ist ja dann in der Aufgabe b) gefragt. Hast du das schon bearbeitet?

31.08.2010, 21:23

Banane19

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Noch nicht Augenzwinkern

Ich würde die 1.Ableitung bilden und = 0 setzen.

Also
$\begin{eqnarray*} fa(x)=x*(x-a)^2= x* (x^2- 2ax + a^2) = x^3 -2ax^2 + xa^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fa'(x)= 3x^2 -4ax +a^2 \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?
Kann ich hier die PQ-Formel anwenden?

Vielen Dank für die Hilfe.

31.08.2010, 21:26

Johnsen

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Ja genau, wenn du die Ableitung 0 setzt kannst du p-q anwenden, oder du siehst den Satz von Vieta. Aber kommt aufs gleiche heraus!

Die Werte für x sind dann deine Möglichen Extrempunkte. Welcher Wert was ist, wie findest du das heraus? Also ob Minumum, Maximum?

31.08.2010, 21:31

Banane20

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Ich setze den Wert in die 2 Ableitung ein und wenn das Ergebnis größer als 0 ist, dann ist es ein Minimum und wenn es kleiner als 0 ist, dann ist es ein Maximum.

Dann mache ich mich mal auf die Suche nach den X-Werten smile

Danke nochmal smile

31.08.2010, 21:52

Banane17

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Binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} fa'(x)= 3x^2 -4ax +a^2 \end{eqnarray*}$
Wird zu:
$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{4}{3} ax + \frac{1}{3} a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a(+-) \sqrt{\frac{2}{9}a+a^2 } \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich die Wurzel richtig gezogen habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a(+-) 0.47a+a = \frac{2}{3}a(+- )1.47a \end{eqnarray*}$

x1= 2.14a
x2=0.8a

31.08.2010, 21:55

Johnsen

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Also nein, diese beiden Ergebnisse stimmen nicht. Ich kenn persönlich nur die Mitternachtsformel, nach der löse ich quadr. Gleichungen. Versuchs nochmal. Und wie gesagt, man kann auch den Satz von Vieta anwenden!

31.08.2010, 22:20

Banane16

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Hmm.
Ich weiß nicht mehr weiter.
Aber der Satz von Vieta, auch wenn ich ihn mir erst eben angesehen habe,lässt sich doch gar nicht anwenden es gibt keine reelen Lösungen bei:

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{4}{3} ax + \frac{1}{3} a^2 \end{eqnarray*}$

Danke Johnsen.

31.08.2010, 22:24

Johnsen

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Doch gibt es:

$\begin{eqnarray*} fa'(x)= 3x^2 -4ax +a^2 = (x-a)(3x-a)=0 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man sofort die Nullstellen!

31.08.2010, 22:38

BananeX

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Oh, ich Idiot. Hammer

Danke Johnsen Gott

Die Nullstellen sind also
x1=a
x2=a/3

2.Ableitung:
$\begin{eqnarray*} fa'(x)= 3x^2 -4ax +a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fa''(x)= 6x -4a \end{eqnarray*}$

Das a wird doch wie eine Zahl behandelt also fällt es in der 2.Ableitung weg oder?

Wenn ja, dann
$\begin{eqnarray*} fa''(a)= 6a -4a = 2a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fa''(a/3)= 2a-4a = -2a \end{eqnarray*}$

Somit müsste bei dem X-Wert a ein Minima vorliegen und bei a/3 ein Maxima.

31.08.2010, 22:44

Q-fLaDeN

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Hast du die Nullstellen jetzt nur aufgrund der Umformung gesehen? Du solltest es nämlich auch selbst lösen können Augenzwinkern

Die pq-Formel richtig angewandt ergibt

$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{4}{3} ax + \frac{1}{3} a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2 3 a \pm \sqrt{\frac 4 9 a^2 - \frac 1 3 a^2} \end{eqnarray*}$

Womit man dann auf

$\begin{eqnarray*} \frac 2 3 a \pm \frac 1 3 a \end{eqnarray*}$

kommt.

31.08.2010, 22:55

BananeXx

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Hallo Q-Fladen und dankeschön.

Ich hatte die PQ-Formel selber angewandt und da lief leider etwas schief.

Zitat:

Original von Banane17

$\begin{eqnarray*} fa'(x)= 3x^2 -4ax +a^2 \end{eqnarray*}$
Wird zu:
$\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{4}{3} ax + \frac{1}{3} a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a(+-) \sqrt{\frac{2}{9}a+a^2 } \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich die Wurzel richtig gezogen habe.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a(+-) 0.47a+a = \frac{2}{3}a(+- )1.47a \end{eqnarray*}$

x1= 2.14a
x2=0.8a

Hab einen Fehler bei der Wurzel gemacht. :P

Und der einzige gemeinsame Punkt aller Kurven der Schar ist der Punkt [0|0].

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